[2018年必威体育精装版整理]2015-数理分析方法-PPT.ppt

六、间接效用函数与支出函数的关系 七、消费者需求的性质 我们将对消费者行为进行比较静态分析，研究当价格与收入变化时，消费者需求如何变化。 1、相对价格与实际收入 2、收入效应与替代效应 3、需求弹性与收入份额 为进一步分析预算平衡性下消费者对价格与收入变化的反应，可以计算各种需求弹性，并进行加总。 2）消费者需求的加总 设是消费者的马歇尔需求函数，在上面所定义的需求弹性和收入份额 下，存在如下关于收入份额、需求的价格与收入弹性的关系： 两种物品的情形如下图，由阴影部分及边界上的点组成： 3、消费者选择：问题 4、消费者选择：解的性质 1）效用函数u(x)是实值连续函数； 2）预算集是一个非空（包含0 ∈ Rn+ ）、闭的、有界的（所有价格严格为正），即它是Rn的紧子集； 3）根据威尔斯拉斯（Weierstrass）定理，在B上存在u(x)的一个极大值； 4）由于B是凸的，目标函数是严格拟凹的，u(x)在B上的极大值是唯一的； 5）由于偏好严格单调，解值x*将满足等式约束条件，即在预算集边界上。 5、需求函数 然而，由于假定严格单调性，因而（3.4）必定为等式形式，而（3.5）成为多余。实际上严格单调性将原问题转换为等式约束的最优化问题。所以可简化为： 注：在单约束情形中，如果u是严格拟凹且约束是线性的，则只要一阶条件满足，约束极大的二阶条件也总是满足。在多个约束或者约束是非线性的情形中，二阶条件和拟凹性之间的联系将变得复杂。 四、间接效用函数 1、间接效用函数定义 普通效用函数u(x)定义在消费集X 上，并直接代表消费者偏好，也被称为直接效用函数。 给定价格p 与收入y ，消费者选择一个效用最大化的消费束x( p, y)。当x( p, y) 被选择时，所获得的效用水平是消费者在价格p与收入y 的预算约束所允许的最高效用水平。因此，不同的价格或收入，给出了不同的预算约束，进而对消费者选择产生影响。这样，价格、收入与效用最大值之间的关系可表述为一个实值函数v: Rn+ → R，定义为： 函数称为间接效用函数，是同消费者效用最大化问题相对应的最大值函数。 对于连续的效用函数u(x)，最大化问题的解存在，这时对于 p 0 和y ≥ 0，间接效用函数v( p, y) 也能被很好定义。特别当效用函数u(x)是严格拟凹的，存在唯一解x( p, y)，即表示为消费者需求函数，而进一步在x( p, y) 被选择时所达到的效用水平为：v( p, y) = u(x( p, y)) ，则构成间接效用函数。其图形表示为v( p, y)是给定价格p与收入y 时，消费者所能取得的最高无差异曲线所表示的效用水平： 可以看到，把u(x)称为直接效用函数，是把效用作为消费束x的函数，而消费束是在某个给定价格（p）与收入水平（y）下最优选择的结果，当价格与收入发生变化时，最优选择的消费束 x* 也发生改变，并进一步对效用产生影响。因此，最大化的效用 max u(x) 与( p, y)间存在着函数关系，并称之为间接效用函数。这正是因为这时的效用不是直接表示为消费束x 的函数，而是价格（p）与收入（y）的函数。也就是知道了消费者有多少收入，同时知道外在的相对价格关系，就可以通过消费者的自己选择获得最优消费组合，正是在这个意义上，消费者的最大效用由价格（p）与收入（y）间接地表达出来。研究间接效用函数的意义在于通过控制价格与收入，也就是一定的价格政策和收入政策来调节消费者行为。 2、间接效用函数的性质 五、支出函数 1、支出函数的定义 2、补偿需求函数（希克斯需求函数） 马歇尔需求函数，也就是普通需求函数是指给定价格与收入，消费者为使效用最大化而选择对x 的需求量。现在的问题是，当价格给定，为满足一定的效用水平，使消费者支出最少而如何选择消费量x 。实际上它假定了这样的情形：当某种商品价格下降（上升）时，消费者得到效用的增加（减少），但我们假定把消费者收入减少（增加）一个相应的份额，使其效用水平仍保留与价格下降前相同的效用水平，这样来研究消费者选择可能发生的变化。这就是上式中的函数 xh ( p,u)。显然，这是一种不可观测的假定情形的需求函数，称为补偿需求函数，也因为最早由希克斯所提出，也称为希克斯需求函数。 3、支出函数的性质 如果令x i ∈ R代表第种商品的数量，假定其有意义时为非负，则令x=(x1,…,xn )为一个向量，它包含n种不同数量的商品，并称 x 为消费束或消费计划。显然，一个消费束x ∈ X可由一个点x ∈ Rn+表示。也就是将消费集视为整个非负象限。因此，消费集有如下性质： 消费集的最低条件：1）? ≠ X ? Rn+ ; 2）X 是闭的; 3）X 是凸的; 4）0 ∈ X 。 2、可行集 可行集不仅是可想象到的