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3.闭区间上连续函数的性质(1)最大值和最小值定理 闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值.(2)有界性定理 闭区间上的连续函数在该闭区间上一定有界.(3)介值定理 设函数在闭区上连续，且，则对于与之间的任一常数，必在开区间内至少存在一点，使得.推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.(4)零点定理 设函数在闭区间上连续，且与异号，则在开区间内至少存在函数的一个零点，即至少有一点使.四、典型例题题型一 函数及相关性质[例1.1]设函数则 .[例1.2]已知则，其定义域为 .[例1.3]设函数，则是( ).(A)偶函数.(B)无界函数.(C)周期函数.(D)单调函数.[例1.4]设对任意有，则一定是( ).(A)奇函数. (B)偶函数. (C)周期函数. (D)单调函数.[例1.5]设函数，则在下列哪个区间内有界( ).(A).(B).(C).(D).题型二 求极限[例1.6]设数列与，满足，则下列叙述正确的是( ).(A)若发散，则必发散.(B)若无界，则必有界.(C)若有界，则必为无穷小量.(D)若为无穷小量，则必为无穷小量.[例1.7]下列极限正确的是( ).(A).(B).(C). (D) [例1.8]设，且，为常数，则数列和( ).(A)都收敛于. (B)都收敛，但不一定收敛于.(C)可能收敛，也可能发散. (D)都发散.[例1.9]设，且，，和均为数列，则( ).(A)存在且等于. (B)存在但不一定等于.(C)一定不存在. (D)不一定存在.[例1.10] .[例1.11] . [例1.12]求极限.[例1.13]求下列极限：.[例1.14]下列各式中正确的是( ).(A). (B). (C). (D)[例1.15]设，则= .[例1.16]求极限.[例1.17]设，()，试证数列极限存在，并求此极限.[例1.18]= . [例1.19]设，则( ).(A)，. (B)，. (C)，. (D)，.[例1.20]设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数等于( ).(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.[例1.21]当时，求常数使得 (I)(II).题型三 函数的连续性问题[例1.22]在点连续是在点连续的( ).(A)充分条件，但不是必要条件. (B)必要条件，但不是充分条件.(C)充分必要条件. (D)既不是充分条件，也不是必要条件.[例1.23]函数在上的第一类间断点是( ). (A)0. (B)1. (C). (D).[例1.24]设函数，讨论函数的间断点，其结论为( ).(A)不存在间断点. (B)存在间断点.(C)存在间断点. (D)存在间断点.[例1.25]设，则的间断点为 .[例1.26]设函数在处连续，则.[例1.27]设在()内有定义，且，，则( ).(A)必是的第一类间断点. (B)必是的第二类间断点.(C)必是的连续点. (D)在点处的连续性与的取值有关.[例1.28]设函数在上连续，且，证明：存在，使得.[例1.29]设是上非负连续函数，且证明：对任意实数()，必存在，使得，且.[例1.30]设在上连续， .(1)证明：存在使.(2)证明：存在使且为正整数).五、经典习题1.求.【答案】2.求.【答案】3.已知，则.【答案】.4.极限 ( )[例3.12]设求.题型三　不定积分与定积分、反常积分计算[例3.13]计算[例3.14]计算(是不全为0的非负常数).[例3.15]计算[例3.16]设，计算 [例3.17]计算[例3.18]计算[例3.19] 计算.[例3.20]求.[例3.21]已知曲线的方程为，点是它的一个拐点，直线与分别是曲线在点与处的切线，其交点为. 设函数具有三阶连续导数，计算定积分. [例3.22]设函数可导，，其中为正整数，求.题型四 证明积分等式与不等式[例3.23]设函数，在上连续，且0，利用闭区间上连续函数的性质，证明至少存在一点，使.[例3.24]设，在上连续，且满足.证明： [例3.25]设是连续函数，证明并计算.[例3.26]设函数在闭区间上非负，且，证明：题型五 定积分应用[例3.27]由曲线与直线所围成的图形的面积= .[例3.28]由曲线及所围图形的面积＝ .[例3.29]位于曲线下方，轴上方的无界图形的面积是 .[例3.30]求曲线所围成的公共部分的面积.[例3.31](抽水问题)一容器由面上曲线绕轴旋转而成，其容积为72，其中盛满水，水的比重为，现将水从容器中抽出64，问需作多少功.[例3.32]设曲线(1)求曲线过原点的切线方程，切点记作;(2)求由曲线、切线及或所围平