[2018年必威体育精装版整理]21三重积分的计算.doc

第三节　三重积分的计算 利用直角坐标系计算三重积分 三重积分的定义： ． 三重积分中体积元素可表示为，于是 ． 三重积分的计算是将其化为计算一个定积分和一个二重积分，最终都要转化为计算三次定积分． 坐标面投影法（先一后二计算法） 由上次课的引例知，三重积分可看成为体密度为且占有空间区域的立体的质量． 设区域在面上的投影区域为，以的边界为准线作平行于轴的柱面，将分为上下两个曲面，其方程分别为 　 设它们为上的单值连续函数，且，用垂直于轴和轴的平面将区域分为若干个细长条，对应于小区域高度为的小薄片的质量近似等于，所以细长条的质量用微元法求得为 再将其在区域上求二重积分，得到立体的质量为 上面公式对于一般情形仍然成立，于是我们有下面结果． 当积分区域可以表示为 其中为在面上的投影，此时称为－型区域． 则有计算公式 ． 进一步，如果是－型区域，即可表示为如下不等式组 ： 则　　 由于上面计算公式实际上是先求一个单积分，再求一个二重积分，因此称为先一后二计算法． 类似地，积分区域还有－型区域，－型区域，都有类似公式．例如对于－型区域，可表示为 则有公式 例１　计算三重积分，其中为三个坐标面和平面所围成的闭区域． 解　从图上看出，积分区域可以用如下不等式组表示为 由上面公式有 例２　求由抛物面，平面，，，及所围成的立体的体积． 解　从立体图形看出，区域可以用不等式组表示为 ． 坐标投影法（截面法或先二后一法） 如果将空间区域向轴作投影得一投影区间，且能够表示为：．其中是过点且平行于面的平面截所得的平面区域，就称为型空间区域。 当为型空间区域时，对于固定的，我们先在截面上作二重积分，而在区间上变动时，该二重积分是的函数 然后将在区间上作定积分 可以证明，如果被积函数在上连续，那末所求三重积分就有 类似地，空间积分区域还有为型和型的，此时都可以把三重积分按先“二重积分”后“单积分”的步骤来计算，这种方法称为坐标投影法或截面法，习惯上称为“先二后一”积分法． 例3 计算，其中为椭球体． 解 将视为型空间区域 其中，则 这里为平面区域的面积，利用椭圆面积公式，可知 于是得 如果把本例中的被积函数改为1，则会得到椭球体的体积为 例4　计算，其中由，绕轴旋转一周形成的曲面与柱面所围立体 解一　用坐标面法．曲线绕轴旋转一周的曲面方程为 该曲面与柱面的交线为，在面上的投影区域为：，于是 再用极坐标有 解二　用坐标轴投影法．，．这里为由和所围圆环 小结 二重积分的换元积分法 三重积分在直角坐标下辖的计算（先二后一法、先一后二法） 3 3