[2018年必威体育精装版整理]21_数值分析6数值积分.ppt

第6章 数值积分 引言 使用牛顿-莱布尼茨公式求积分, 需要被积函数的原函数. 但在实际问题计算中, 原函数很难求. 例如: 下列积分都不能通过解析的方法来求解. 必须使用数值的方法去计算这些积分. 矩形公式 依积分中值定理知, 有 ? ? [a, b] , 使 故, 只要对平均高度 f (? ) 给出一种算法, 可得积分值的一种算法. 梯形公式 若用 [ f (a) + f (b) ] / 2 作为平均高度 f (? ) 的近似值, 可导出 梯形公式: 6.1 求积公式及其代数精度 一、数值求积公式 式中 {x0,x1, ?, xn} 叫求积节点, 它们满足 a ? x0 ? x1 ? ? ? xn ?b , Ak 叫做求积系数， 它与被积函数无关. 用求积公式 (6.1) 计算积分近似值 In， 任务是确定节点与求积系数 Ak . 二、截断误差 (余项) 三、m次代数精度 定义 若求积公式 (6.1) 满足: 当 f (x) 为任何次数不高于 m 的多项式时, (6.1) 都成为等式; 对某个 m+1 次多项式, 式(6.1) 不能成为等式, 则称此求积公式有 m 次代数精度. 四、判别求积公式代数精度的方法 若当 f ?x) 分别为 1,x1, ?, xm 时, 求积公式 (6.1) 都成为等式, 则当 f ?x) 为任何次数不高于 m 的多项式时, 求积公式必为等式. 最简洁的说明用余项 Rn 来解释： 6.2 插值型求积公式 思路 利用插值多项式 pn(x) ? f(x) 则积分易算。 ? 在 [a, b] 上取 a ? x0 ? x1 ? ? ? xm ?b ，做 f 的 n 次 L-插值多项式 ，即得到 定理6.1 n+1个节点的求积公式 (6.1) 至少有 n 次代数精度 它是插值型的. 证明 (充分性) 因为, 当 f (x) 为次数不高于 n 的多项式时, 有 f (n+1)(x) ?0, 故, 由 (6.3) 知, Rn[ f ] ? 0. 依代数精度定义, 知结论成立. (必要性) 若求积公式 (6.1) 至少有n 次代数精度, 这时公式(6.1) 对插值基函数 lk(x) 准确成立 (它是 k 次多项式). 即有, 注意到, lk(xj) = ?ij , 上式右端实际上等于 Ak , 因而, 即, (6.1) 是插值型求积公式. 推论 n+1个节点的插值型求积公式中的求积系数 Ak 满足 其中, a , b 为积分下上限. 证 因为插值型求积公式 有 n 次代数精度, 故代入多项式 f (x) ?1 后, 成立等式: 6.3 Newton-Cotes 求积公式 一、等距节点插值积分 将积分区间 [a, b] 划分为 n 等份, 步长为 , 选等距节点 xk ? a ? kh , 构造出的插值求积公式 称为 Newton-Cotes求积公式，式中 称为 Cotes 系数. 插值型求积系数为 对它做积分变换 x ?a ? th, 则有 Cotes 系数只与 k 和 n 有关， 与 f (x) 被积函数及积分区间 [a, b] 都无关。 用公式（6.5）计算出的 Cotes 系数表如下： 三、Newton-Cotes 求积公式 四、截断误差 五、 Newton-Cotes 求积公式的代数精度 作为插值型求积公式，n 阶的N-C公式至少具有n 次代数精度，实际上的代数精度能否进一步提高呢？ 定理6.3 当 n 为偶数时， n+1 个节点的 n 阶Newton-Cotes 求积公式的代数精度至少是 n+1 次。 六、几个常用的N-C求积公式 1、梯形公式 当 n =1 时， N-C求积公式变为 下面的梯形公式： 截断误差：当 f (x) 在区间 [a, b] 上有二阶连续导数时，使用公式 (6.7) , 容易得到梯形求积公式有如下的截断误差： 2、Simpson 公式 当 n =2 时， N-C求积公式为 称为Simpson (辛普生)公式，又叫抛物线公式。 截断误差：当 f (x) 在区间 [a, b] 上有 4 阶连续导数时,使用公式 (6.7) , 易得抛物线公式有如下的截断误差： 3、Simps