[2018年必威体育精装版整理]21微分方程的基本概念与可分离变量方程.ppt

第一节 一般概念 第五章 微分方程基础 微分方程的基本概念 1. 微分方程 含未知函数及其导数(或微分)的方程叫做微分方程. 如： 常微分方程 偏微分方程 (本章内容) 微分方程分类 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程。 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程。 如： 如： 本章只介绍常微分方程，偏微分方程暂不学习。 例5-1 在理想环境中,某细菌的增殖速率与它的即时存在量成正比，试建立该细菌在时刻 的存在量所应满足的微分方程。 解 设在任意时刻 ,该细菌的即时存在量为 ,并从观察中已测出正比例系数为 ,则可得微分方程 例5-2 设一曲线通过点 ,且在该曲线上任一点处的切线的斜率为 ,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为 ,由导数的几何意义,得 两边积分 即 得 (其中 为任意常数) 又因曲线通过点 ,所以曲线方程 还应满足条件 将上述条件代入方程 中,得 于是所求的方程为 注意: 为一族平行曲线，称为积分曲线族， 而为其中的一条曲线. 2.微分方程的阶 微分方程中所含未知函数的导数或微分的最高阶数,叫做微分方程的阶. 例 、 为二阶微分方程. 一阶微分方程的一般形式为 或 n阶微分方程的一般形式为 为三阶微分方程. 为一阶微分方程. 3.微分方程的解 如果把某函数以及它的导数代入微分方程,能使方程成为恒等式,那么这个函数就叫做微分方程的解. (1)通解 含有独立的任意常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同的解,叫做微分方程的通解. 例如 为 的通解 为 的通解 (2)特解 在通解中,利用已知条件(或初始条件)求出任意常数所应取的确定数值,所得的解叫做微分方程的特解. 4.初始条件 给定的条件或由实际问题确定的已知条件． 解 例5-4 验证函数 是微分方 程 的解, 并求满足初始条件 的特解. 所以 故 是原方程的解. 把初始条件 代入 所以, 所求特解为 得 5.线性微分方程 如果微分方程中函数的导数和函数本身都是一次的微分方程（仅仅是对于y本身来说,对x没限制 ）。 例如 是二阶线性微分方程。 是二阶微分方程，但不是二阶线性微分方程。 6.常系数线性微分方程 如果微分方程中函数的导数和函数本身前为常数的线性微分方程。 例如 是二阶常系数线性微分方程。 不是常系数线性微分方程。 形如 的方程称为可分离变量的微分方程 即等式右端的函数可分解成 的函数与 的函数相乘的形式. 第二节 一阶微分方程 一、可分离变量的微分方程 微分方程 分离变量 是否可分离变量 y??2xy 3x2?5x?y??0 (x2?y2)dx?xydy=0 y??1?x?y2?xy2 y??10x?y 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy?f(x)dx (或写成y??f(x)g(y)) 的形式? 那么原方程就称为可分离变量的微分方程? 1、可分离变量的微分方程 讨论: 是 不是 不是 是 是 是 y?1dy?2xdx dy?(3x2?5x)dx y??(1?x)(1?y2) 10?ydy?10xdx ———— ———— 2、可分离变量的微分方程的解法 两端积分? 方程G(y)?F(x)?C? y?F(x) 或 x?Y(y) 都是方程的通解? 其中 G(y)?F(x)?C 称为隐式(通)解? 求显式解? 求方程由 G(y)?F(x)?C 所确定的隐函数 y?F(x) 或 x?Y(y)? 分离变量? 将方程写成g(y)dy ?f(x)dx的形式? 分离变量，得 解：这是一个可分离变量的微分方程. 两边积分，得 即