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第二节 幂级数 一、幂级数的定义 二、幂级数及其收敛性 三、幂函数的运算及其性质 四、求幂级数的和 五、函数展开为幂级数 二、幂级数的收敛半径和收敛区间 三、幂级数的性质 下面考虑复函数的情况: 注 将函数展开为幂级数的方法: 1. 直接法： 将 复函数 f (z) 展开为幂级数的步骤： 将实函数 f (x) 展开为幂级数的步骤： 解 第十章 函数项级数 无穷级数与极限有着十分密切的关系,它是函数表示,函数逼近及数值计算的一种重要数学工具. 一、幂函数的定义 以后主要讨论 z 的幂级数. |z|R 注： 1.R---收敛半径 , ---收敛区间 ——收敛圆 注意：幂级数在收敛圆内部绝对收敛;在收敛圆外部发散; 在收敛圆周上，幂级数的敛散性不能断定。 例 1 求下列幂级数的收敛半径与收敛圆: 解: 解:(1) 设收敛半径为R,则 所以在 处绝对收敛。 的端点,于是收敛半径R=3， 在 处,敛散性无法确定. (2) 因为 在 处条件收敛,故知 为收敛区间 设 则 例4 解： 求 的和函数: 收敛半径 四、求幂级数的和 五、将函数展为幂函数 前面讨论了幂级数的收敛性及如何求幂级数的和函数问题。 现在考虑它的反问题，给定函数，能否将其表达成一个 幂级数，即所谓函数展开为幂级数的问题。 定义 设 f (z) 在 z0 的邻域内有任意阶导数，则称级数 为 f (z)在 z0 的Taylor级数。 若 称 为 f (z) 的Maclaurin级数。 设 f (x) 在 x0 的邻域内有任意阶导数，则称级数 —— f (x)在 x0 的Taylor级数。 若 —— f (x) 的Maclaurin级数。 特别地，首先考虑实函数的情况: 记 Taylor定理 时， 即在 的条件下,Taylor级数收敛到 f (x) ,有 f (x)在 x0处的Taylor展开式（ f (x)能展开成 x-x 0Taylor级数) Taylor定理 定理2.9 设 f (x)在 x0某邻域 内有任意阶导数， 则 : f (x)在 内能展开成 x-x 0 Taylor级数 唯一性: 若f (x)可展开为 x 的幂级数，则它 的展开式必唯一， 即为Maclaurin级数 特别当