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群 定义 设〈G,。〉是代数系统, 。为二元运算．如果 。是可结合的, 存在幺元e∈G, 并且G中的任意元素x,都有x-1∈G, 则称G是群. 例 Z,+,Q,+,R,+都是群; ∑*,?, ? 不是群,其中Σ是有穷字母表, ?表示连接运算.连接运算的幺元是空串?. 因为除?外,其他符号串没有逆元; P(B),?, ? 是群,其中?表示集合的对称差运算．元素的逆元是自身； Zn , ? ,0 是群,其中Zn ={0,1,…,n-1}, ?表示模n加法。0的逆元是0,非0元素的逆元是n-x. 例  设G＝{e,a,b,c}, 。为G上的二元运算,它由以下运算表给出．不难证明G是一个群. 群的术语 若群G中的二元运算是可交换的,则称群G为交换群,也叫做阿贝尔(Abel)群． 例 Z,+,Q,+,R,+都是群,也是阿贝尔(Abel)群; P(B),?, ? 是群, ,也是阿贝尔(Abel)群; Zn , ? ,0 是群, ,也是阿贝尔(Abel)群. Klein四元群也是阿贝尔群． 无限群 有限群 若群G中有无限多个元素, 则称G为无限群, 否则称为有限群. 例如, Z,＋,R,＋都是无限群. Zn,?是有限群. Klein四元群也是有限群. 群的阶 对于有限群G,G中的元素个数也叫做G的阶,记作|G|. Zn,?是有限群,其阶是n. Klein四元群也是有限群,其阶是4. 元素x的阶 设G是群,x∈G,使得xk＝e成立的最小的正整数k叫做x的阶(或周期)． 如果不存在正整数k,使xk＝e,则称x是无限阶的. 对有限阶的元素x,通常将它的阶记为|x|. 在任何群G中幺元e的阶都是 1． 例 在Klein四元群中, |a|=?,|b|=?,|c|=?,|e|=? 群的性质 定理 设G为群,则G中的幂运算满足 ?x∈G,(x-1)-1＝x ? x,y∈G,(xy)-1＝y-1x-1 ?x1,x2,…,xn∈G,(x1x2…xn)-1 ＝xn-1…x2-1x1-1 ? x∈G, xnxm＝xn+m． ? x∈G,(xn)m＝xnm. m,n是整数 定理 G为群,?a,b∈G,方程ax＝b和ya＝b在G中有解,且有唯一解． 消去律 定理 G为群,则G中适合消去律,即对任意a,b,c∈G有 (1)若ab＝ac,则b＝c. (2)若ba＝ca,则b＝c. 定理 通过运算表判断哪些代数系统不是群 设S是一个非空集合,从集合S到S的一个双射称为S的一个置换. 例如:对于集合S={a,b,c,d},将a映射到b,b映射到d,c映射到a,d映射c是一个从S到S的一对一映射,这个置换可以表示为: 判断方法 定理 G为有限群,则G的运算表中的每一行(每一列)都是G中元素的一个置换,且不同的行(或列)的置换都不相同。 子群 定义 设群G,*,H是G的非空子集．如果H关于G中的运算*构成群,则称H为G的子群,记作H≤G. 例如,在群Z,＋中,取 2Z＝{2x|x∈Z} 则2Z关于加法构成Z,＋的子群.同样,{0}也是Z,＋的子群. 例 在Klein四元群中,G={e,a,b,c}中,有5个子群,它们是: {e},{e,a},{e,b},{e,c},G 平凡子群是… 真子群是… 判定定理 定理 设G为群,H是G的非空子集.如对任意x,y∈H都有xy-1∈H,则H是G的子群． 例 设G为群, (1)对任何x∈G,令 H＝{xk|k∈Z}, 即x的所有幂的集合．不难判定H是G的子群．因为任取H中的元素xm,xl,都有 xm(xl)-1＝xmx-l＝xm-l∈H. 称这个子群是由元素x生成的子群,记作x． 例 群G的中心 设G为群,令C是与G中所有的元素都可交换的元素构成的集合,即 C＝{a|a∈G∧?x∈G(ax=xa)}, 称C为群G的中心. e为G中的幺元, 。是可交换的. 任何G中的元素与自己运算的结果都等于e. 在a,b,c三个元素中,任何两个元素运算的结果都等于另一个元素. 一般称这个群为Klein四元群. c=ec 例 设G=P({a,b}), ?,其中?为集合的对称差运算,求下列群方程 {a} ?X=?, Y ?{a,b}={b} 解 X={a}-1 ? ? ={a} ? ? ={a} Y={b} ?{a,b}-1 ={b} ?{a,b}={a} a b c d b d a c 6.1.2 结束 ,返回目录