[2018年必威体育精装版整理]2多元函数的极限与连续性-1.ppt

2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 多元函数的极限与连续性 多元函数的概念 二元函数——n元函数 * * 二元函数 ※ 函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对 应关系. R 到 R 的映射是一元函数, R2 到 R 的映 射则是二元函数. 定义2 设平面点集 , 若按照某对应法则 f , D 中每一点 P ( x, y ) 都有惟一确定的实数 z 与之 对应, 则称 f 为定义在 D 上的二元函数 ( 或称 f 为 D 到 R 的一个映射 ), 记作 也记作 或点函数形式 与一元函数相类似, 称 D 为 f 的定义域; 而称 为 f 在点 P 的函数值; 全体函数值的集合为 f 的 值域, 记作 . 通常把 P 的坐标 x 与 y 称 为 f 的自变量, 而把 z 称为因变量. 当把 和它所对应的 一起组成 三维数组 ( x, y, z ) 时, 三维点集 便是二元函数 f 的图象, 通常该图象是一空间曲面. 例1 函数 的图象是 R3 中的一个平面, 其定义域是 R2, 值域是 R . 例2 的定义域是 xOy 平面上的 单位圆域 , 值域为区间 [ 0, 1 ], 它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部分. 例3 是定义在 R2 上的函数, 它的图象是过 原点的双曲抛物面. 例4 是定义在 R2 上的函数, 值域 是全体非负整数. 例2 例3 例4 ※ 若二元函数的值域 是有界数集, 则称函数 在 D上为一有界函数 ( 如例2中的函数 ) . 否则, 若 是无界数集, 则称函数 在 D上为一无界 函数 ( 如例1、3、4 中的函数 ). 与一元函数类似地, 设 则有 例5 设函数 ( 此函数在以后还有特殊用处 ) 试用等高线法讨论曲面 的形状. 解 用 为一系列常数 ) 去截曲面 得等高线方程 当 时, 得 平面上的四条直线 当 时, 由等高线的直角坐标方程难以看出它 的形状. 若把它化为极坐标方程, 即令 得到 如下一页图 所示, 为 所对应的一 族等高线. 由此便可想象曲面的大致形状如图 所示, 坐标原点是曲面的一个鞍点, 四道 “山谷” 与四道 “山脊” 在鞍 点处相汇. n 元函数 所有 n 个有序实数组 的全体称为 n 维向量空间, 简称 n 维空间, 记作 Rn. 其中每个有 序实数组 称为 Rn 中的一个点; n 个 实数 是这个点的坐标. 设 E 为 Rn 中的点集, 若有某个对应法则 f , 使 E 中每一点 都有惟一的一个实数 y 与之对应, 则称 f 为定义在 E 上的 n 元函数, 记作 也常写成 或 对于后一种被称为 “点函数” 的写法, 它可使多元 函数与一元函数在形式上尽量保持一致, 以便仿照 一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题; 同时, 还可把二元函数的很多论断推广到 元函数中来.