[2018年必威体育精装版整理]2插值与拟合方法.ppt

2. 插值法 2 4 3 1 yi 5 4 2 1 xi 在科学实验中，经常需要从一组实验数据( xi,yi)出发，求函数y=f(x)的一个近似表达式y=y(x)（通常称为经验公式）。从几何上看，就是通过给定m个数据点，求曲线y=f(x)的一条近似曲线y=y(x)使这条曲线尽可能与所给的m个点相吻合。 2.5 曲线拟合的最小二乘法 例1 考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表 是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数 的记录: 2.5.1 最小二乘法的提法 要求出拉伸强度和倍数的关系，插值法虽然在一定程度上，可以根据函数表求函数的近似表达式。但用来解决这里提出的问题存在明显缺陷： 1. 实验提供的数据带有误差，使用插值法会保留这些误差，从而失去原数据表示的规律。 2.实验数据往往很多，用插值法得到的近似表达式明显缺乏使用价值。 为了获得便于应用的经验公式，不用插值标准可能更合适，最小二乘法是解决这类问题的一种较好方法。 并且24个点大致分 布在一条直线附近 ---------(1) 必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点 一般使用 在回归分析中称为残差 称为平方误差 在回归分析中称为残差平方和 从而确定(1)中的待定系数 残差的大小可以衡量近似函数的好坏。 求出 使残差的平方和最小的方法称为曲线拟合的 最小二乘法或最佳平方逼近。 * 在生产和实验中，常常需要根据一张表格表示的函数推算该表中没有的函数值.解决此类问题的简单途径之一利用插值法。 插值在数学发展史上是一个老问题，它是和Gauss, Lagrange, Newton等在著名数学家连在一起的。它最初来源于天体计算——由若干观测值计算人一时刻星球的位置。现在，插值法在工程技术和数据处理有许多直接应用，而且也是数值积分、数值微分的基础。 2.1 插值概念与基础理论 2.1.1 插值问题的提法 对于给定的函数表 yn …….. y1 y0 Y=f(x) xn ……. x1 x0 x (其中 在[a,b]上连续， x0， x1，…，xn 是 [a,b]上的 n+1个互异的点)，在某函数类{?(x) }中求一个函数?(x) ，使 ?(xi)=yi , (i=0,1,2,…,n) (2) （1） 并用函数?(x) 作为函数 y=f(x) 的近似函数，即 y= f(x) ? ?(x) , ( x∈[a,b] ) 这类问题称为插值问题。 [a,b]称为插值区间， x0 , x1, ... , xn 称为插值节点，（2）称为插值条件，插值条件是选择近似函数的标准，满足此条件的近似函数 ?(x) 称为插值函数， f(x) 称为被插值函数。 函数类{?(x) }有多种取法，常用的有代数多项式、三角函数和有理函数。 最简单的插值函数是代数多项式，相应的插值问题称为多项式插值。 最简单的插值函数是代数多项式，相应的插值问题称为多项式插值。 根据所给函数表（1），求一个次数不高于n的多项式 Pn(x)=a0+a1x+…+anxn, (3) 使 pn(xi)=yi,, （ i= 0,1,2,…，n） (4) 满足插值条件（4）的多项式（3），称为函数y=f(x) 在节点x0，x1，…，xn处的n次插值多项式。 2.2.2 多项式插值的理论基础 求 的n次插值多项式 的几何意义，就是 上的若干个节点，作一条代数曲线 来近似代替曲线 。如图所示。 通过曲线 a0+a1x0+…+anx0n=y0 a0+a1x1+…+anx1n=y1 ……………………. (5) a0+a1xn+…+anxnn=yn 插值多项式的存在唯一性 由插值条件（4）知，插值多项式Pn(x)的系数a0 ,a1,…, an满足下列线性方程组 由于xi互异，所以(6)右端不为零，从而方程组(5)的解 a0 ,a1 ,…an 存在且唯一。于是有 而ai(i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde行列式 (6) 定理1 满足插值条件（4）的n次次插