[2018年必威体育精装版整理]2第二章离散时间信号与系统的变换域分析.ppt

数字信号处理课件 第2章 刘益成 2.3.2 离散时间系统的Z变换解法 当输入序列x(n)为因果序列时，线性时不变系统的常系数差分方程描述为 1．零状态响应的解法 在系统初始状态为零，即y(n)=0(n0)时，对上式两边取双边Z变换，由Z变换的移位特性可得 于是 由于常系数的差分方程中的系数ak和bk是已知的，按上式可求得H(z)，这样由Z变换的卷积定理，当x(n)给定时就可由下式求得响应y(n)， 这就是差分方程的零状态响应的Z变换解法。 当系统的初始状态不为零时，除了考虑零状态响应外还必须考虑零输入响应。这时差分方程的Z变换解法需使用单边Z变换。 由于序列移位的单边Z变换与双边Z变换不同，下面先说明单边Z变换的移位特性。 2．初始状态不为零的解法 设 则 这就是序列移位后的单边Z变换。 对式 两边进行单边Z变换，利用单边Z变换的移位特性，得到 由此得到 *上式右边的第一项只与输入有关，与初始状态无关，即零状态响应，它与用双边Z变换求得的结果相同。 *第二项只与初始状态有关，与输入无关,称为零输入响应。 例 2-3-2 已知系统的输入输出满足以下差分方程， 求输入信号x(n)=u(n)时系统的响应。 解：对差分方程两边作单边Z变换，得 初始条件 y(-1)=1 收敛域为 ，求逆Z变换，得 第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。 2.3.3 系统函数的零极点与频率响应 1．零极点分布与系统的频率响应 为两个的多项式之比，将其进行因式分解得 其中ck和dk分别为H(z)的零点和极点。因此除了一个常数A之外，系统函数可完全由它的零极点来决定。 系统函数式 对于一个稳定系统，其极点应全部位于单位圆内，即单位圆包括在收敛域内，因此其傅立叶变换存在，将 代入上式，得到系统的频率响应 利用H(z)的零点和极点可用几何的方法确定系统的频率响应。(见下图) 这样有 则系统的幅频响应为 相位响应为 系统的频率特性见下图 由幅频响应可知当频率点变到极点附近时，Pk就变小，就会在该极点附近的频率出现峰值，极点越接近单位圆，峰值就越尖锐。同样，当频率点变到零点附近时，Qk就变小，就会在该零点附近的频率出现低谷，当零点在单位圆上时，该零点就是传输零点。可见在单位圆附近的零极点对系统的幅频特性有较大的影响。零点可在单位圆内外，但极点只能在单位圆内，否则系统将不稳定。 而系统的相位响应对幅度特性没有影响。 下面举例说明用几何的方法确定系统频率响应的方法。 例2-3-3 已知系统的差分方程为 ， 指出系统函数的零极点并分析系统的频率响应。 解 系统的传输函数为 系统的极点为z=a，零点在实轴上为z=0，当ejω在单位圆上从ω=0逆时针旋转时，在ω=0处，极点到单位圆的距离最短，因此ω=0频率点幅度最大，成为波峰，而在ω=π时，极点到单位圆的距离最长，因而在ω=π频率点幅度最小，成为波谷。而在原点处的零点，对幅度特性没有影响。 幅度特性： 相位特性： 系统频率特性表达式如下， 系统频率特性为低通特性，见下图 2.3.4 系统的分类 根据系统的单位脉冲响应h(n)在时域中的长度可将它分为两种类型， 可以根据系统函数的零极点来判断系统是IIR系统还是FIR系统。 *当h(n)的长度为有限长时称为有限长脉冲响应系统，简称为FIR系统。 *当h(n)的长度为无限长时称为无限长脉冲响应系统，简称为IIR系统。 1. 无限长单位脉冲响应(IIR) 系统 如果将系统函数式中系数a0归一化为a0 =1，仍用ak, bk表示分子分母中的其它系数，则可表示成 若系统函数式中分母多项式系数ak只要有一个ak≠0， 则在有限Z平面上将会出现极点。若该极点不被零点所抵消，H(z)的逆Z变换h(n)就会有无穷多项，也就是说系统的单位脉冲响应将无限长，因此这样的系统就是IIR系统。 对于IIR系统由于h(n)无限长，在实际计算中即使x(n)已知，显然也无法通过卷积公式 求得系统的响应y(n)，只能从求解差分方程或Z变换的方法求得y(n)，另一方面由于IIR系统中至少有一个ak≠0（k=1,2,…），其差分方程表达式(设a0=1)为 可以看出其输出不但与输入有关，还与以前的输出及其加权值有关，即系统中存在着输出对输入的反馈回路。这种结构常被称作为递归结构，在求解差分方程时需采用迭代的方法。 2．有限长单位脉冲响应(FI