[2018年必威体育精装版整理]2第二章随机变量及其分布1.ppt

第二章 随机变量及其分布 ３.二项分布 如果随机变量 X 的分布列为 分布律的验证: ⑴由0p1，可知 二项分布的分布形态（图略） 由此可知，对于固定的 n 、p, 二项分布的分布律 例2 对同一目标进行300次独立射击，设每次射击 4. 泊松(Poisson)分布 如果随机变量X 的分布律为 分布律的验证 ⑴ 由于?0, Poisson 定理 例5 设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布， Poisson定理的应用 由 Poisson 定理，可知 如果随机变量X 的分布律为 一 分布函数的定义 三 用分布函数计算某些事件的概率 例2 分布函数的另一定义: 例3 密度函数的验证 2 指数分布 如果随机变量 X 的密度函数为 标准正态分布的计算： 例8 一般正态分布的计算 故所求概率为 检验 5 个元件的使用寿命可以看作5重贝努利试验. 设Y 表示5 个元件中使用寿命不超过15小时的元件数，则 =0.067 P{Y=2} 指数分布的推导过程 设某种电子元件的寿命X是随机变量，其分布函数为F(x), 下面证明 “无老化” 假定：元件在时刻x尚能正常工作的条件下，其失效率总保持为某个常数?0,与x无关. (失效率是指单位长度时间内失效的概率) 上述假定可表示为 （h?0） 此式的解释： 元件在时刻x尚正常工作，即X x 在x处 ，长为h的时间段内失效，即xX? x+h 这个条件概率除以h, 即得在x时刻的平均失效率，再令h?0, 即得瞬时失效率，依假定，它应为?. 此微分方程的通解为 当x?0时，F(x)=P{X ?x}=0 常数c可用初始条件F(0)=0确定为c =1 因此， 例6 某种日光灯的寿命 X(单位:小时)服从 参数为?=1/2000的指数分布. （2）已知一根日光灯已经使用 1000 小时，求还能使用 （1）任取一根日光灯，求能使用 1000 小时以上的概率. 1000 小时以上的概率. X的密度函数为 解： ?=1/2000 （1） （2） 例7 (威布尔分布) 在指数分布的推导过程中，若考虑“老化”，则失效率不是常数，而应是x的增函数，例如取?xm(?0, m0), 按指数分布的推导过程，此时寿命分布函数F(x)应满足微分方程 解出 (初始条件F(0)=0) 令?=m+1 (?1)， 则有 此分布的密度函数为 上面两式分别称为威布尔分布函数和 威布尔密度函数. 如果连续型随机变量X的密度函数为 (其中?? ? +?，? 0为参数) 则称随机变量X服从参数为(? , ?2) 的正态分布. 记作X~N(? , ?2). 3 正态分布(高斯分布) (2) 密度函数的验证 (1) 作变换： x f (x) 0 正态分布密度函数的图形和性质 ⑴曲线关于直线 x =?对称 ⑵当x =?时，f(x)取到最大值 (3)若?固定，而改变?的值，则f(x)的图形沿 x轴平行移动 即: P{??h X?}= P{? X?+h} 即:同样长度的区间,离?越近, X落入该区间的概率越大 x f (x) 0 (4) 若?固定，改变?的值，由于f(x)的最大值为 可知，当?越小时，y=f(x)图形越陡，因而X落在?附近的概率越大；反之,当?越大时， y=f(x)图形越平坦，这表明X的取值越分散． 标准正态分布 标准正态分布的密度函数为 特别地，若?=0 , ?=1，称N(0, 1)为标准正态分布. 其分布函数为 0 x 的图形如右图 0 x -x 如果x 30，可查标准正态分布表，得F (x)的值. 如果x0，根据图形的对称性，有 ?(?x)=1 ??(x) x 解: ⑴ P {1?X2} (2) P {?1X2} 设X~N(0, 1), 试求 ⑴ P {1?X2} (2) P {?1X2} 证明: 如果X~ N(?, ?2)可用如下转换公式: 因此 P{x1X?x2}= P{X?x2}? P{X?x1} =F(x2)?F(x1)= 设X~N(2, 9), 试求 例9 ⑴ P {1?X5} (2) P {|X ?2| 6} (3) P {X0} ⑴ P {1?X5} 解: (2) P {|X ?2| 6} (3) 例10 （3?原则） 设X~N(?, ?2), 求X落在(???k, ?+?k)(k=1, 2, 3)区间内的概率。 解: P{??? X ?+?}=?(1)? ?(?1) =?(1)?[1 ??(1)]= 2?(1)?1=0.6826 P{??2? X ?+2?}= P{??3? X ?+3?}= ?(2)? ?(?2)=0.9544 ?(3)? ?(?3)=0.9974 由此可见，X落在(??3?, ?+3?)之外的概率小于0.003. 因此，