[2018年必威体育精装版整理]3-3向量组的秩.ppt

一、极大线性无关组 四、小结 课堂练习 1.(1)3; (2)2. 练习答案或提示： 　　１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； 　　２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） 　　３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 定理．（难点） * * 第三章 向量组的线性相关性 中南财经政法大学信息系 找出向量组中包含向量最多的线性无关的部分组： 线性无关, 线性无关, 线性无关, 而 再加入任何一个向量都会使向量组线性相关，所以 就是包含向量个数最多的线性无关部分组。 定义3.4 等价 注： 1.由零向量组成的向量组没有极大无关组;包含非零向量的向量组中有极大无关组; 2.线性无关向量组的极大无关组是这个向量组本身. 3.一个向量组的极大无关组可能不是唯一的; 与向量组 例如：Rn为所有n维向量构成的向量组，则 证明：(1)根据极大无关组的定义,向量组可由它的极大无关组线性表示;又它的极大无关组可由该向量组线性表示是显然的.故向量组与它的极大无关组可以互相线性表示,即等价. 定理3.9 向量组与它的极大无关组等价;向量组的两个极大无关组之间等价. (2)由等价的传递性,得向量组的两个极大 无关组之间等价. 证明： 推论 两个极大无关组含有相同个数的向量. 而两个等价线性无关向量组所含向量个数相等 因为两个极大无关组等价 所以两个极大无关组所含向量个数相同。 规定仅含零向量的向量组秩为零; 定义3.5 在秩为r的向量组中，任意r＋1个向量必线性相关，任意r个线性无关的向量构成的向量组都是极大线性无关组。 任意含非零向量的向量组的秩大于或等于1; 线性无关向量组的秩即向量组所含向量个数; 线性相关的向量组的秩小于向量组所含向量个数； 定义3.6 三、有关向量组秩的性质 推论 等价向量组的秩相等. 此定理的结论可分解为以下四种情形： (1)初等行变换不改变的行秩； (2)初等行变换不改变的列秩； (3)初等列变换不改变的列秩； (4)初等列变换不改变的行秩. 定理3.11 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 或 或 (3)(4)同理可证 设 A … B,则A、B的列(行)向量组有相同的线性关系 (同时相关同时无关) . 由定理3.11的证明可知 行（列） 此性质包含下列含义:(对A, B的列向量而言) 求向量组的秩：以向量组为列向量（或行向量）构造矩阵，将矩阵化为阶梯型矩阵,其非零行数就是矩阵的秩，也等于向量组的秩。 求向量组的极大线性无关组：则仅对以向量组为列向量的 矩阵实施行初等变换（这样列向量间的线性关系保持不变）, 化为阶梯型矩阵，则每行第一个非零元对应的列为极大线性 无关组，如果还要将向量用极大线性无关组表出，需再将矩 阵化为最简阶梯型。 解 构造矩阵 解 构造矩阵 对矩阵进行初等行变换将其化为行最简形,得 行 证明思路：向量组能相互线性表出，即A能由B表出，B也能由A表出。 另解： 例4 例5