[2018年必威体育精装版整理]3-3第三节泰勒公式.ppt

高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 第三节 泰勒公式 拉格朗日中值定理不仅可从一个函数的情形推广到两 个函数的情形,从而得到柯西中值定理,而且还可向另一个 方向推广:建立函数f(x)在一个区间上的增量与函数在这区 间内某点处的高阶导数之间的联系,我们得到泰勒中值定理. 来表达f(x),要求Pn 与f(x)之差是比(x-x0)n高阶的无穷小,并 给出误差|f(x)-Pn(x)|的具体表达式. 假设Pn(x)在x0处的函数值及它到n阶导数在x0处的值 依次与 f(x0), f’(x0), … , f(n)(x0) 的值相等, 即满足 设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数, 试找出一个关于(x-x0)的多项式 按这些等式来确定多项式（1）的系数 为此我们对（1）式求各阶导数，然后分别代入以上各式，得到 把上面的系数代入（1）式得到 泰勒中值定理 设f(x)在含有x0的某个区间(a,b)内具有直到 (n+1)阶的导数,则对任一x∈(a,b),下式成立 泰勒中值定理建立了函数f(x)在一个区间上的增量与 这个函数在区间内某点处的高阶导数之间的联系. 当n=0时,(3)式变成拉格朗日中值公式 因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广. 公式(3)在函数表示方面有着十分重要的意义,它是只包 含自变量的有限次的加,减,乘三种运算,进行数值计算时 很方便,通常我们把一个复杂函数用多项式函数来近似表 达,(它的表达可以到任意),以便对复杂函数进行研究. 公式(3)还提供用多项式函数代替复杂函数时引起的误 差|Rn(x)|。(3)式称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n阶泰勒公式. Rn(x)为拉格朗日余项. 现在我们证明 只需证明 由假设可知Rn(x）在（a.b）内具有直到n+1阶的导数，且 对两个函数Rn(x)及 在以及为端点的区间上应用柯西定理（它们满足柯西定理 的条件），得 拉格朗日余项 由泰勒中值定理可知,以多项式p(x)近似表达函数 f(x)时,其误差为|Rn(x)|.如果对于某个固定的n,当x∈(a,b) 时,|f(n+1)(x)|≤M,则有估计式: 在不需要余项的精确表达式时,n阶泰勒公式可写成 (6)式称为佩亚诺型余项,公式(7)称为f(x)按(x-x0)的幂展开 的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式 在泰勒公式(3)中,如果取x0=0,则ξ在0与x之间.因 此可令ξ=θx (0θ1),这样泰勒公式变成麦克劳林公 式(Maclaurin) 得到的近似公式为 误差估计式为 例1 写出函数f(x)=ex的n阶麦克劳林公式. 解: 近似式为 误差为 当x=1时,则得到无理数e的近似式为 其误差为 当n=10时,可得到e≈2.718 281,其误差不超过10-6 例2 求f(x)=sinx的n阶麦克劳林公式. 解: 它们顺次循环地取四个数0,1,0,-1,于是按公式(5)得到 其中 取m=1,则得到近似公式 sinx≈x. 这时的误差为|R2(x)|≤|x|3/6 * *