[2018年必威体育精装版整理]3-4函数的单调性与曲线的凹凸性.ppt

四、泰勒公式的应用 例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 例2. 用近似公式 2. 利用泰勒公式求极限 3. 利用泰勒公式证明不等式 例5 证明 e 为无理数 . 第三章 微分中值定理与导数的应用 第四节 函数的单调性与曲线 的凹凸性 一、单调性的判别法 二、单调区间求法 * 证明 曲线凹凸的定义 利用单调性判别方程根的情况的一般步骤: 第一步 第二步 第三步 利用函数 处理数列 例6 证 观察以下曲线 各曲线有什么不同? . . 三、曲线的凹凸性 弯曲方向不同 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 凸 凹 * * 内容回顾 其中 拉格朗日形式的余项 或 皮亚诺形式的余项 n 阶泰勒公式 当 时为n 阶麦克劳林公式 . 常用函数的麦克劳林公式 解 解法2 三次多项式 练习 1. 在近似计算中的应用 误差 M 为 在包含 0 , x 的某区间上的上界. 可解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围. 已知 解: 令 x = 1 , 得 由于 欲使 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 的麦克劳林公式为 计算 cos x 的近似值, 使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围. 解: 近似公式的误差 令 解得 即当 时, 由给定的近似公式计算的结果 能准确到 0.005 . 解 例4. 证明 证: 两边同乘 n ! = 整数 + 假设 e 为有理数 ( p , q 为正整数) , 则当 时, 等式左边为整数; 矛盾 ! 证: 时, 当 故 e 为无理数 . 等式右边不可能为整数. 解 例7 解 利用麦克劳林公式 泰勒公式的应用 (2) 近似计算 (3) 其他应用 求极限 , 证明不等式 等. (1) 利用多项式逼近函数 , 常用函数的麦克劳林公式 ( P140 ~ P142 ) 函数的单调性 x y o x y o 定理 说明:1.该定理的条件是充分条件而非必要条件 定理’ 观察下面的图形, 你能得出什么结论？ 综上所述, 可知: (1) 确定函数定义域; 判断函数单调性的方法 总结: 例1 解 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 方法: 例2 解 单调增区间为 单调减区间为 例3 解 单调增区间为 单调减区间为 时, 成立不等式 证: 令 从而 因此 且 证 例4 令 则 从而 即 例5 证 利用单调性判别方程根的情况