[2018年必威体育精装版整理]3-8四节点矩形单元.ppt

有限元法做为一个有效的数值分析工具，在许多科学领域当中有成功的应用。 本门课程主要有以下的目的: 1)了解什么是有限元法。 2)了解当前有限元软件的发展水平，学会用有限元软件如何来分析一些工程问题。 3)学习有限元法的原理，主要结合弹性力学问题来介绍有限元法的基本方法，包括单元分析，整体分析，载荷与约束处理，等参单元的概念等。 有限元法作为一种数值方法，有限元法的起源正好是在力学领域，因此要涉及一些力学知识，但不把重点放在力学上。 这门课在 11 周进行考试，主要考察有限元法的基本原理，方法，概念等。 由于[Bi], [Bj]都是ξ,η的函数，它不能对x, y积分，所以需要换元 由集中力引起的等效节点力 由表面力引起的等效节点力 由体积力引起的等效节点力 最后形成载荷列阵{F} 收敛准则 位移函数的选择 它可以是三角函数，也可以是有理分式，在一般情况下取多项式，多项式中各项系数的个数取决於单元的自由度数，在多项式中由於材料的各向同性，多项式的各项必须使 x和 y 对位移有相同的影响，所以就以杨辉三角形选择多项式。 1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 * * 矩形单元也是一种常用的单元，它采用了比常应变三角形单元次数更高的位移模式，因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。 矩形单元1234如图4-9所示，其边长分别为2a和2b，两边分别平行于x、y轴。若取该矩形的四个角点为节点，因每个节点位移有两个分量，所以矩形单元共有8个自由度。采用§4-2节中的方法，同样可以完成对这种单元的力学特性分析。然而，如果我们引入一个局部坐标系?、?，那么就可以推出比较简洁的结果。 第六节 矩形单元 图4-9 矩形单元1234 　　在图4-9中，取矩形单元的形心为局部坐标系的原点，?和?轴分别与整体坐标轴x和y平行，两坐标系存在有以下的坐标变换关系 (4-48) 式中 其中 (xi , yi）是节点i 的整体坐标，i =1,2,3,4。 　　在局部坐标系中，节点i的坐标是(?i , ?i )，其值分别为±1。取位移模式 　　该函数称为双线性函数。将节点的局部坐标值代入上式，可列出四个节点处的位移分量，即两组四元联立方程，由此可求得位移模式中的8个未知参数?1，?2，…，?8， (a) 求出α1, α2, α3, α4；α 5, α 6 , α7 , α8 　　式中 ，?0 =?i ?，?0 =?i ?，i =1,2,3,4。若写成与前面一致的形式，有 式中 (d) 由几何方程可以求得单元的应变 (e) (f) 再把这些参数代回(a)式中，便可得到用节点位移表示的位移模式 (b) 将(b)式代入，得 (g) 式中 (i=1,2,3,4) (4-49) 由虎克定律我们可以得出用节点位移表示的单元应力，即 (4-50) 式中 (i=1,2,3,4) (h) 对于平面应力问题 (4-51) 若将单元刚度矩阵写成分块形式 (4-52) 其中每一个子矩阵为 J 称为雅可比行列式 换元后积分区间为[-1, 1] 矩形单元的等效节点力计算 {F0} 表示作用在各节点上的集中力 四边形单元的节点位移与单元节点力之间的关系仍为 (j) 　　其中载荷列阵{R}e 与上节中的(c)式相同，仍可按上式计算等效节点力。但是，需要注意的是，矩形单元有四个节点（1，2，3，4），所以{R}e 具有8个元素，即 (4-54) 　　和常应变三角形单元一样，将各单元的{k}、{?}e 和{R}e 都扩充到整个弹性体自由度的维数，再进行叠加，即可得到整个弹性体的平衡方程。即 [K]{?}={R} (l) 　　由前面的讨论可以发现，四边形单元的位移模式(a)比常应变三角形单元所采用的线性位移模式增添了? ?项（即相当于x y项），我们把这种位移模式称为双线性模式。在这种模式下，单元内的应变分量将不再是常量，这一点可以从[B]的表达式中看出。另外，位移模式(a)中的?1、?2、?3、?5、?6、?7与三角形单元相同，它反映了刚体位移和 常应变，而且在单元的边界上(? =±1或 ? =±1)，位移是按线性变化的，显然，在两个相邻单元的公共边界上，其位移是连续的。 　　由单元的应力矩阵表达式还可以看出，矩形单元中的应力分量也都不是常量。其中，正应力分量?x 的主