[企业管理]动态规划1.ppt

* 动态规划 【引例１、数字三角形】 有一个数字三角形，编程求从最顶层到最底层的一条路所经过位置上数字之和的最大值。每一步只能向左下或右下方向走。下图数据的路应为7-3-8-7-5，和为30。 输入： 第一行：R(1=R=100),数字三角形共有R行； 以下R行：依次表示数字三角形中每行中的数字。 每个数都是非负的，且=100. 输出：一个正整数，路径上数字之和的最大值。 输入样例： 5 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 输出样例： 30 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 一、引例 算法一：深度优先有哪些信誉好的足球投注网站算法DFS： 二维数组a[i，j]存储数字三角形。 Procedure try(sum,i,j:integer); {从a[1,1]到走到第i行第j列即a[I,j]时所取得的值为sum} begin if i=n then begin if summax then max:=sum; exit; end; try(sum+a[i+1,j],i+1,j); {向左下方走} try(sum+a[i+1,j+1],i+1,j+1); {向右下方走} end; 开始时：try(a[1,1],1,1); 结果：max 为什么当n较大时速度慢？ 方法一：依次求从起点(1,1)到点（i，j）的最大值。 设F[I,j]为从a[1,1]到达a[I,j]时取得的最大值． 根据题意可得出递推关系： 算法二： f[i,j]=max{f[i-1,j-1]+a[i,j],f[i-1,j]+a[I,j]} 或f[i,j]=max{f[i-1,j-1],f[i-1,j]｝+a[I,j] 初始：f[1,1]:=a[1,1]; 目标：max{f[n,i]} 1=i=n procedure work begin f[1,1]:=a[1,1]; for i:=2 to n do 　　　{枚举行} for j:=1 to i do　　　｛枚举每行的元素｝ if f[i-1,j-1]f[i-1,j] then f[i,j]:=f[i-1,j-1]+a[i,j] else f[i,j]:=f[i-1,j]+a[i,j];　｛枚举两种走法｝ ans:=f[n,1]; for i:=2 to n do if f[n,i]ans then ans:=f[n,i]; writeln(ans); end; procedure work2;{顺推} begin f[1,1]:=a[1,1]; for i:=2 to n do for j:=1 to i do f[i,j]:=max(f[i-1,j-1],f[i-1,j])+a[i,j]; ans:=f[n,1]; for i:=2 to n do if f[n,i]ans then ans:=f[n,i]; writeln(ans); end; function max(a,b:integer):integer; begin max:=a; if bmax then max:=b; end; 方法二：从最后一行向起点走 设F[I,j]:a[i,j]到达第n行a[n,k]（k：1--n）的最大值． 递推关系： f[i,j]=max{f[i+1,j]+a[i,j],f[i+1,j+1]+a[I,j]} 或f[i,j]=max{f[i+1,j],f[i+1,j+1]｝+a[I,j] 初始：f[n,i]:=a[n,i]; 1=i=n 目标：f[1,1] {procedure work begin for i:=1 to n do f[n,i]:=a[n,i]; for i:=n-1 downto 1 do {枚举行} for j:=1 to i do {枚举每行的元素} if f[i+1,j]f[i+1,j+1] then f[i,j]:=f[i+1,j]+a[i,j] else f[i,j]:=f[i+1,j+1]+a[i,j]; {枚举走法} writeln(f[1,1]); end; } 思考：算法一和算法二的主要区别在哪里？ 算法一：每求一条从起点到终点的路线，中间的点都重新求一遍。做了大量的重复性计算。 算法二：中间结点的值只求一次，后边的点可以直接使用