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6 泊松过程 内容提要 泊松过程的定义 泊松过程的基本性质 泊松脉冲列 散粒噪声 非齐次泊松过程 复合泊松过程 引 言 泊松分布 6.1 泊松过程的定义 泊松过程 泊松过程的另一个定义 泊松过程的几个例子 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t)表示电话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数，则{ X(t), t ?0 } 是一个泊松过程。 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t) 为时间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数，则{ X(t), t ?0 } 是一个泊松过程。 考虑机器在 (t, t+h] 内发生故障这一事件。若机器发生故障，立即修理后继续工作，则在 (t, t+h] 内机器发生故障而停止工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松过程来描述。 6.2 泊松过程的基本性质 (1) 泊松过程的数字特征 (2) 时间间隔与等待时间 设 {X (t), t ? 0 }是泊松过程，令X (t)表示 t 时刻事件A发生的次数， 时间间隔Tn [定理] 设 {X (t), t ? 0 }是具有参数?的泊松过程，{Tn , n ? 1 } 是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn (n=1,2,…)是独立同分布的均值为1/? 的指数分布。 等待时间（到达时间）Wn [定理] 设 {X (t), t ? 0 }是具有参数?的泊松过程，{Wn , n?1}是对应的等待时间序列，则随机变量Wn 服从参数为n与? 的? 分布（又称为爱尔兰分布），其概率密度为 [例1] 已知仪器在 [ 0 , t ] 内发生振动的次数 X(t) 是具有参数?的泊松过程。若仪器振动k (k ? 1)次就会出现故障，求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。 (3) 到达时间的条件分布 假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到达时间W1的分布 到达时间的条件分布 [定理] 设 {X (t), t ? 0 }是泊松过程，已知在[0, t]内事件A发生n次，则这n次到达时间W1 W2 … Wn与相应于n个[0, t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布， [例2] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，且0 s t，对于0 k n ，求在 [ 0 , s ] 内事件A发生 k 次的概率。 [例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，求第k次(k n) 事件A发生的时间Wk 的条件概率密度函数。 6.3 泊松脉冲列 泊松脉冲列的数字特征 6.4 散粒噪声 散粒噪声的数字特征 泊松脉冲列和散粒噪声的统计特性 [例5] 泊松脉冲列输入一线性系统 h(t) = e??tu(t) ，求其输出散粒噪声的均值和方差。 6.5 非齐次泊松过程 非齐次泊松过程的分布 例6 [例7] 设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出。乘客流量如下：5时平均乘客为200人/时；5时至8时乘客线性增加，8时达到1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时至21时到达率线性下降，到21时为200人/时。假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求出这两小时内乘客人数的数学期望。 6.6 复合泊松过程 复合泊松过程的性质 * * [(0-1)分布] 随机变量 X 只可能有两个值: 0 和 1，其概率分布为： [二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的次数，则 X ~ B (n, p) [泊松定理] 在二项分布中，设 np=? 是常数，则有 [泊松分布] 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, … ，而取各个值的概率为 则随机变量X 服从参数为? 的泊松分布，简记为? (?)。 [定义] 称{ N (t), t ?0 } 为计数过程，若N (t)表示到时间t 为止已发生的“事件A”的总数，且N (t)满足下列条件：(1) N (t) ? 0 ，且 N (0) = 0 ; (2) N (t) 取非负整数值;(3) 若 s t ，N (s) ? N (t) ;(4) 当s t 时， N (t) ? N (s)等于区间 (s, t] 中“事件A”发生的次数。 [定义] 称计数过程{ X (t) , t ?0 }为具有参数 ? 的泊松过程，若它满足下列条件：(1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程;(3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次数服从参数? 0的泊松分布，即对任意 s , t ?0 ，有 [定义] 称计数过程{ X (t) , t ?0 }为具有参数 ? 0 的泊松过程，若它满足下列条件：(1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立