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教 材 《概率论与随机过程》叶尔骅，张德平编 参考教材 (1) 《应用随机过程》 林元烈 ，清华大学 出版社 (2) 《应用随机过程》张波，高等教育出版社 概率论与随机过程的起源与发展 起源： 17世纪中叶法国贵族梅勒 1713年猜度术 公理化阶段： 俄国人伯恩斯坦，奥地利人冯-米西斯(1883-1953)对概率论的严格化做了初步的尝试 伊藤清(1915-2008): 1942-1944年定义了对布朗运动的随机积分，1987年获得沃尔夫奖 第一章 概率空间  - (?, ?,P) 1.集合 具有某种特定性质的事物全体称为集合. 集合中元素称为元素或点. 2.样本空间 将随机试验所有可能结果组成的集合称为样本空间，记为?. 样本空间的元素，称为样本点，用?表示. 二、集合的运算 1.代数运算 ① 和（并）： ② 交（积）： ③ 差： 1.历史背景 频率的波动性→不用做为衡量事件发生大小的理论量 频率的稳定性→隐藏的规律性 第二章 随机变量与分布函数 * 讲课范围 概率空间 随机变量与分布函数 平稳过程 随机向量的数字特征与特征函数 布朗运动 泊松过程 极限定理 马尔可夫过程 帕斯卡(1623-1662) 费马(1601-1665) 荷兰人惠更斯(1629-1695)：1657年论赌博中的计算 这一时期称为组合概率阶段 成为数学分支： 瑞士人 雅克比-贝努力(1654-1705) 大数定理(LLN) 棣莫佛(1667-1754): 分析杂论 中心极限定理(CLT)(1901年), 乘法原理，正态分布等。 蒲丰(1707-1788)：蒲丰问题 几何概率 拉普拉斯(1749-1827)：1812《概率分析理论》 概率的古典定义 泊松(1781-1840)：推广了大数定理，提出了Poisson分布等. 19世纪后期，极限理论成为概率研究的热点问题， 其中切比雪夫及其学生马尔可夫为代表的俄国学派做出巨大贡献。 法国人 贝特朗于1899年提出了著名的贝特朗悖论 这一时期称为分析概率阶段 测度论的诞生，波雷尔(1881-1956)，勒贝格(1875-1941) 1933年，柯尔莫哥洛夫(1903-1987)概率论基础 现代公理化体系 Black-Scholes期权定价模型：1973年首次在 政治经济杂志(Journal of Political Economy)发表， 1997年获诺贝尔经济学奖 彭实戈(1947-): 1995年“倒向随机微分方程”获得国家自然科学二等奖(一等奖空缺)。 莱维(1886-1971): 独立增量过程； 辛钦(1894-1959)： 平稳过程 杜布(1910-2004)，Meyer：鞅论 当代的发展：随机过程与随机分析---概率主流 §1 ?-域 一、集和类 3.集合间的关系 ① 包含：A ? B（B ?A） ② 相等：A = B 4. 类 (Class)　 　以集合为元素的集合称为集类或类，用花写字 母 ?, ?等表示. 例：直线R1中所有有限开区间全体组成一个类，记 为?＝{(a, b)}. 2. 运算律 交换律; 结合律; 分配律; 等幂律; 吸收律; 对偶律 3.和、交运算的推广 ① 可列交： ② 可列并： ③ 对偶律： 4.集合序列的极限 ① 定义： ② 定理： 例2 §2 概率空间 一、概率的公理化定义 2. 概率的公理化定义 ① 样本空间 ② 事件域： ③ 二、 概率的性质 一般的减法公式： 6. 全概率公式: A B1 B2 B3 Bn S ... §1 随机变量及其分布 一、随机变量的定义 二、分布函数及其性质 2.性质 三、随机变量分类 1. 离散型 非离散型