[信息与通信]数字信号处理-西电第2章.ppt

　　【例2.6.1】　已知　　　　　　　　　　　　　， 分析其因果性和稳定性。 　　解　H(z)的极点为z=a, z=a－1，如图2.5.5所示。 　　（1） 收敛域为a－1|z|≤∞: 对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an－a－n)u(n)（参考例2.5.7），这是一个因果序列，但不收敛。 　　（2） 收敛域为0≤|z|a: 对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a－n－an)u(－n－1)（参考例2.5.7），这是一个非因果且不收敛的序列。 图2.6.1　例2.6.1图示 　　（3） 收敛域为a|z|a－1: 对应一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(a)所示。 　　下面分析如同例2.6.1这样的系统的可实现性。 　　H(z)的三种收敛域中，前两种系统不稳定，不能选用；最后一种收敛域，系统稳定但非因果，还是不能具体实现。因此严格地讲，这样的系统是无法具体实现的。 　　【例2.5.9】　已知网络的单位脉冲响应h(n)=anu(n)，|a|1, 网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。 　　解　　　　　　　y(n)=h(n)*x(n) 求y(n)可用两种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是Z变换法。 　　（1） 　　　 　　（2） 　　　 由收敛域判定 y(n)=0　　n0 　　n≥0时，   将y(n)表示为   　　9． 复卷积定理 　　如果 ZT［x(n)］=X(z)　　Rx－|z|Rx+  　　　 ZT［y(n)］=Y(z)　　Ry－|z|Ry+ 　　　　 w(n)=x(n)y(n) 则 　　　　　　　　　　　　　　　　　（2.5.24）  W(z)的收敛域为　 　　　　　　　　　Rx－Ry－|z|Rx+Ry+　　(2.5.25) （2.5.24）式中υ平面上，被积函数的收敛域为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2.5.26）  　　证明　 由X(z)的收敛域和Y(z)的收敛域得到：   因此   　【例2.5.10】　已知x(n)=u(n)，y(n)=a|n|, 0|a|1若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZT［w(n)］。  　　解 W(z)的收敛域为|a||z|≤∞；被积函数υ平面上的收敛域为max(|a|, 0)|υ|min(|a－1|, |z|)，υ平面上极点：a、a－1和z，c内极点：z=a。 令 　　10． 帕斯维尔（Parseval）定理 　　设X(z)=ZT［x(n)］　　Rx－|z|Rx+ 　　　Y(z)=ZT［x(n)］　　Rx－|z|Rx+ 　　　Rx－Ry－1, Rx+Ry+1 　　那么 （2.5.27） υ平面上，c所在的收敛域为   　　利用复卷积定理可以证明上面的重要的帕斯维尔定理。　证明　令　　　　　w(n)=x(n)y*(n) 按照（2.5.24）式得到：  按照（2.5.25）式，Rx－Ry－|z|Rx+Ry+; 按照假设，z=1在收敛域中，将z=1代入W(z)中，则有   　　 　　因此   如果x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令υ=ejω，得到:   　　令x(n)=y(n)，得到： （2.5.28） 　　上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕斯维尔定理（2.2.34）式是相同的。（2.5.28）式还可以表示成下式： （2.5.29） 　　注意：上式中X(z)收敛域包含单位圆，当x(n)为实序列时，X(e－jω)=X*(ejω)。 2.5.5　利用Z变换解差分方程 　　在第1章中介绍了差分方程的递推解法，下面介绍Z变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。 　　设N阶线性常数差分方程为 （2.5.30） 　　1． 求稳态解 　　如果输入序列x(n)是在n=0以前∞时加上的，n时刻的y(n)是稳态解，对（2.5.30）式求Z变换，得到： （2.5.31） 式中 （2.5.32） 　　2． 求暂态解 　　对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。设x(n)是因果序列，即x(n)=0, n0，已知初始条件y(－1), y(－2), 　　, y(－N)。对（2.5.30）式进行Z变换时，注意这里要用单边Z变换。该方程式的右边由于x(n)是因