[信息与通信]电磁场电磁波——第1章场论基础.ppt

概 要 矢量分析主要包含矢量代数、正交坐标系和矢量微积分，场的理论是通过矢量分析来表述的，所以矢量分析与场论密不可分。 本章首先介绍场的数学概念和表示方法，进而对场的场域性质和场点性质及其描述方法做了对比讨论，着重讨论了标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的物理概念及其运算规律，在此基础上介绍总结矢量场性质的亥姆霍兹定理。 1.1 场的概念及其表示法 1.1.1 场的分类 场是表征空间区域中各点物理量的时空分布函数。 1.1.2 矢量场的基本运算 图1.1中用箭头指示方向的线段表示矢量A，线段长度表示矢量A的模A，箭头指向表示A的方向。一个模为1的矢量称为单位矢量 。 看出在有限空间区域内，沿闭曲线的环量与闭曲线所界定曲面产生矢量场的源存在相依关系（例如，安培环路定理 ）。 （2）当 时， ，表示F与 取向相反，沿闭曲线周线上形成负环量源； （3）当 时， ，表示F与 正交，沿闭曲线周线上不存在环量源。 1.2.2 场点性质 场点性质是指场在某点邻域的空间变化率。 场域性质只能揭示场在有限区域内场与源的相依关系，当场源分布发生变化时不会影响它们的关系。为了揭示有限区域内某点场的物理性质，可以采用取极限的方法，将范围缩小至该点，考查该点的场点性质。 1．标量场的梯度 引入方向导数描述标量场中某点在其邻域内沿各个方向的变化规律，如图1.18所示。 图1.18 方向导数 ●标量场方向导数的定义 设标量场 中由定点 引出的射线 上有一动点P，相距为 ，当P沿 趋近 时， 在 处沿 的方向导数定义为如下比值的极限 看出标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上对距离的变化率。 在标量场中给定点可以发出无限多个射线，不同方向的变化率是不相同的，方向导数具有不确定性。但在无限多个方向中必定只存在一个具有最大变化率的方向导数。 ●标量场梯度的定义 设标量场u在点P变化率最大时的方向导为 ，该变化率最大的方向用单位矢量 表示，则u在P的梯度定义为一个矢量式 看出标量场在某点的梯度是一个矢量，其大小为具有最大变化率的方向导数，其方向为变化率最大的方向。 图1.19表示直角坐标系中， 分解为三个投影分量 、 和 ，有 ●梯度在直角坐标系中的表达式 由几何关系知 ， 和 。 图1.19 方向导数的直角分量 图1.20表示直角坐标系中两个矢量 和 的点积。其中， 为任意方向射线l上的单位矢量， 为与u有关的固定矢量，表示为 由式(1.39a)得 讨论： （1）当矢量 旋向矢量 时， 是 的模，标量场u有最大变化率， 就是标量场u的梯度，由式（1.39c）知，梯度在直角坐标系中的表达式 （2）当矢量 旋至与矢量 垂直时 ，标量场u在垂直于矢量 的方向无变化，是等值面所在位置。 图1.21表示方向导数、梯度和等值面的关系。由图看出梯度具有如下特性： （1）标量场u的梯度gradu是一个矢量场，称为梯度场； （3）梯度方向的方向导数 为正值，梯度总是指向标量函数u增大最快的方向； （4）标量场u在点P的梯度垂直于过该点的等值面，即在等值面的法线方向，标量场变化最快。 （2）标量场u在给定点P沿 方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影（如图1.20所示）； 图1.22表示梯度的意义 引入矢性微分算符 作用于u 【例1.1】 已知R为场点P（