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小学数学竞赛学习材料 六年级寒假 第一讲　　速算与巧算 当一道计算题看起来比较复杂时，首先要认真观察算式的特点，看看能不能运用计算定律、性质使计算简便，同时还要分析算式中的数据，看看有没有什么规律可供利用。 例1　计算：＝？(2001年全国小学数学奥林匹克决赛题) 解：认真观察算式的特点发现： (1)分子和分母都是由5项组成，每项又都是3个自然数的连乘积； (2)分子第二项的每个因数，分别是第一项每个因数的2倍，第三项的每个因数，分别是第一项每个因数的3倍，……； (3)分母第二项的每个因数，分别是第一项每个因数的2倍，第三项的每个因数，分别是第一项每个因数的3倍，……。 于是分子可以提出公因式1×3×5，分母可以提出公因式1×2×3。这样就找到了巧算的方法： 原式＝＝＝。 例2　计算　。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题） 解：观察发现，如果把分母中2004×2005的2004变成2003＋1，就会出现与分子相同的部分，于是 原式＝＝ ＝＝1。 例3　计算　1994＋－1＋2－3＋4－5＋…＋1992－1993。(第六届《小学生数学报》数学竞赛决赛题) 解：首先把整数和分数分别计算： 原式＝(1994－1＋2－3＋4－…＋1992－1993)＋(－＋－＋…＋－) 观察发现，两个括号里各有1994项。 1994－1＋2－3＋4－…＋1992－1993＝(2－1)＋(4－3)＋…＋(1994－1993)＝1×(1994÷2)＝997 　－＋－＋…＋－＝(－)×997＝166 原式＝997＋166＝1163 例4　计算　（＋＋）÷。 解：观察发现，算式具有极为鲜明的特点，就是被除式和除式都与有密切的联系，由此想到，如果根据商不变性质，用同时除一下被除式和除式，一定会使算式简化。于是 原式＝［（＋＋）÷］÷（÷） ＝［（÷＋÷＋÷）］÷（÷） ＝［（1＋＋）］÷＝3÷1＝3。 练　习　一 1．计算　。(第五届《小学生数学报》数学竞赛决赛题) 　　2．计算　。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题） 　　3．计算　73÷8＋44÷43。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题） 4．计算　85×＋71×＋56×。（陈省身小学数学邀请赛试题） 5．(10.5×11.7×57×85)÷(1.7×1.9×5×7×9×11×13×15)＝？(2002年全国奥赛预赛题) 　　6. 4×5＋5×6＋6×7＋7×8＋8×9＝？(2002年全国小学数学奥林匹克预赛题) 7．计算：(1×2×3×4×…×9×10×11)÷(27×25×24×22)＝？(2002年全国小学数学奥林匹克预赛题) 　　8．计算：3.6×42.3×3.75－12.5×0.423×28＝？(2002年全国小学数学奥林匹克预赛题) 　　9．计算：(8.4×0.25＋9.7)÷(1.05÷15＋84÷2.8)＝？(2002年全国小学数学奥林匹克决赛题) 10．(8.4×2.5＋9.7)÷(1.05÷1.5＋8.4÷0.28)＝？(2002年全国小学数学奥林匹克决赛题) 11．[(5－4.25)×]÷＋3.3÷1＝？(2002年全国小学数学奥林匹克决赛题) 12. 1×(3－1)×0.7×28＝？(九章杯数学竞赛初赛题) 第二讲　　速算与巧算（二） 例1　计算　＋＋＋＋…＋。(第三届《小学生数学报》数学竞赛决赛题) 解：观察发现，这道题与上学期我们学过的“裂项相消法”极其类似，为了找到巧算的方法，任意取出一项来研究，比如第二项，首先想到这个分数会不会与和有什么内在联系，－＝。再取出，－＝。于是想到下面的巧算方法： 原式＝×(＋＋＋＋…＋) ＝×(1－＋－＋－＋－＋…＋－) ＝ 例2　计算　＋＋＋…＋。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题） 解：这道题与例1有相似的结构，很自然地想到，是否也可以用“裂项相消法”。试算发现，＝－，＝－，果然有可以相互抵消的部分。于是， 原式＝（－）＋（－）＋（－）＋…＋（－） ＝＋＋＋＋…＋－ ＝1＋－－＝1。 例3　计算　＋＋＋＋＋。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题） 解：观察发现，只要给各项的分子先减去1，再加上1，就能分离出与分母相同的部分，使算式简化。于是 原式＝＋＋＋＋＋＝1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋。 进一步观察又发现，32－1＝8＝2×4，52－1＝24＝4×6，……于是， 原式＝6＋（＋＋＋＋＋） ＝6＋（－＋－＋…＋－）＝6＋（－）＝6。 　　例4　计算　1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＋256＋512。（陈省身小学数学邀请赛试题） 解：观察发现，相邻两个分数的整数部分，后一个数是前一个数的2倍；相邻两个分数的分数部分，后一个数是前一个数的。于是想到： 如果给整数部分再加上1,与原有的1合成2，再与原有的2合成4，……依次类推，最后得到2个51