不确定性量化的高精度数值方法和理论-LSEC.PDF

中国科学: 数学 2015 年 第45 卷 第7 期: 891 928 自然科学基金项目进展专栏 综 述 不确定性量化的高精度数值方法和理论 献给林群教授 华诞 ∗ 汤涛 周涛 香港浸会大学数学系, 香港; 中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所, 北京 100190 E-mail: ttang@.hk, tzhou@ 收稿日期: 2014-10-23; 接受日期: 2014-12-19; * 通信作者 国家自然科学基金(批准号:和 资助项目 摘要 不确定性量化(uncertainty quantification, UQ) 是近年来国际上热门的研究课题, 其应用领域包 括水文学、流体力学、数据同化和天气预测等. 由于UQ 问题中的大量随机参数引起的超大计算量, 如何设计高效的高精度数值方法变得非常重要, 与其相关的计算技术和数学理论也引起人们的高度重 视. 本文将综述不确定性量化研究中的高精度数值方法和必威体育精装版进展, 主要讨论基于正交多项式的逼近 方法, 其中包括正交多项式 Galerkin 投影方法和随机配置方法. 本文将侧重基于样本 (数据) 信息的 随机配置方法, 包括随机抽样、确定性抽样和结构随机样本, 重点介绍离散投影算法和压缩感知算法, 并介绍相关数值分析进展, 即如何确定样本的使用数量M 与逼近空间基函数的自由度N 的对应关 系, 以保证算法的稳定性和最优收敛性质. 本文还将介绍高维空间中基于任意数量和任意位置节点的 插值算法, 以及一个相关的研究课题, 即正倒向随机微分方程数值方法. 最后尝试探讨不确定性量化 研究面临的挑战和亟待解决的研究问题. 关键词 不确定性量化 多项式逼近 随机配置方法 离散 投影 压缩感知 正倒向随机微分方程 主题分类 41A10, 60H35, 65C30, 65C50 引言 不确定性量化 (UQ) 研究的是什么? 首先, 现实世界中许多实际问题的数学模型背后存在很大的 不确定性, 这些不确定性可能来自于问题中的参数、实验测量值和几何区域的复杂性等. 那么, 如何通 过量化这些不确定因素以减少不确定性带来的风险, 即是不确定性量化研究的主要目的. 近几年, 带有不确定性的实际问题的建模与数值模拟受到了空前的关注, 也就是人们常说的不确 定性量化 (UQ), UQ 正是为了处理模型背后的不确定性. UQ 方法可以分为概率框架和非概率框架, 本文将主要探讨在概率框架下的建模及计算方法. 概率框架为处理不确定性因素提供了良好的工具. 通过使用概率论的工具, 可以将大部分的不确定性建模成随机变量 (或随机函数), 于是, 问题归结为 如何求解所得到的随机问题. UQ 研究的一个核心问题是, 如何处理由于随机输入带来的高维逼近. 对 英文引用格式 Tang T, Zhou T. Recent developments in high order numerical methods for uncertainty quantification (in Chinese). Sci Sin Math, 2015, 45: 891–928, doi: 10.1360/N012014-00218 汤涛等: 不确定性量化的高精度数值方法和理论 于实际应用问题, 如油藏模拟、天气预测、数据同化和流体动力学, 我们通常需要处理30 至50 维, 甚 至上百维的随机参数. 因此, 设计快速有效的不确定性量化方法变得十分迫切. UQ 研究在欧美得到了很大的重视和发展, 吸引了大量的应用数学家的关注, UQ 数值方法也得到 了很快的发展. 至今, UQ 已经在美国成为最重要的应用数学研究方向之一. 美国能源部、空军和国家 实验室都设立专项经费, 支持 UQ 方法的研究. 2012 年, 美国工业与应用数学学会 (SIAM) 开始组织 UQ 年会 (SIAM Conference on UQ), 两年举办一次, 前两届会议都有500 余人参会. 2013 年, SIAM 和 美国数理统计协会 (ASA)