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克勒尼希-彭尼Kronig-Penny模型
5.5 克勒尼希-彭尼（Kronig-Penny）模型：
我们从近自由电子近似（NFE）和紧束缚近似（TB ）
两种极端情形下的讨论中得出了共同的结论，即：晶体中
电子的能级形成允带和禁带，但为了能和实际晶体的实验
结果相比较，使用尽可能符合晶体实际情况的周期势,求解
具体Schrodinger 方程的尝试从没有停止过，最早的一个
模型是 1931年Kronig-Penney 一维方形势场模型，它可
以用简单的解析函数严格求解，也得出了周期场中运动的
粒子允许能级形成能带，能带之间是禁带的结论，但这是
一维周期势场，还不能算是真正的尝试。不过近来却常使
用Kronig-Penney 势讨论超晶格的能带。
见：Kittel 8版7.3节p119；7.4.4节p124
方俊鑫 5.6节 p204;
冯端 《凝聚态物理学》5.2.4节p150
在两种近似之间的区域的真实情况如何？是我们关心的。金属中
的价电子既不像自由电子那样自由，也不像孤立原子中的电子。
的
情实
况晶
体
?
见Blakemore:Solid State Physics P214,该 也有关于Kronig-Penney模型的叙述。
U x
1931年Kronig-Penney 一维方形势场是最早提出的周期势
场模型，它由方型势阱势垒周期排列而成。势阱宽a ,势垒宽b,
因此晶体势的周期是：a + b = c ,势垒的高度是：
U
0
其解应具有Bloch 函数形式：
ik x
y x e u x
代入一维Schr dinger方程：
2
d y 2m
2 2 E U 0 y 0 b x 0
dx h
d2 2
y m
Ey 0 0 x a
dx 2 h2
1. 在区域 0 x a ： U0 0
d2u x du x 2m 2
dx 2 2ik dx h2 E k u x 0
令： 2mE a 2
h2
2
d u x 2ik du x a 2 k 2 u x 0
dx 2 dx
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