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专题四 多重积分的数值计算 当我们需要计算函数z f x , y 在x Oy 平面的某个区域上的定积分时，必须 ( ) 计算多重积分。在初等微积分中已经学过，二重积分可以化成累次积分计算。于 是我们有 b d d b f x , y dA f x , y dy dx f x , y dx dy (4.1) ∫∫ ( ) ∫ ∫( ( ) ) ∫ ∫( ( ) ) A a c c a 在式(4.1) 中，积分区域是由下面的直线围成的矩形区域 x a, x b, y c, y d 事实上，积分区域不必是矩形的，累次积分限也不必是常数，但是我们把这种情 况放到后面讨论。在累次积分的过程中，当对y 积分时设x 是常数。 我们很容易利用前面介绍的积分公式计算多重积分的值。回顾一元函数的任 何数值积分公式都是被积函数在多个点的函数值的线性组合。换句话说，数值积 分公式就是被积函数在某些特定点的函数值的加权和。累次积分中的内层积分值 是被积函数的一个变量取常数，另一个变量取不同值时函数值的加权和。然后再 求这些和的加权和。如果仅知道被积函数在积分区域中矩形网格结点上的函数 值，那么我们只能利用这些值。这时用牛顿-科特斯积分公式很方便，没有任何 理由必须要求在每个方向都用同一种积分公式，尽管这样做通常非常方便。 例4-1 计算表4-1 所表示的表格函数在下面的直线围成的矩形区域上的积 分。 x 1.5,x 3.0,y 0.2,y 0.6 假设我们在 1 3 x 方向用梯形公式，在y 方向用辛普森 公式。（因为在x 方向的小 区间数不是偶数，辛普森1 3公式不易适用）先对哪一个变量积分并不重要。假 设我们先取y 是常数对x 积分，则有 3.0 3.0 h y 0.2 ： f x , y dx f x ,0.2 dx f +2 f +2 f +f ∫1.5 ( ) ∫1.5 ( ) 2 ( 1 2 3 4 ) 0.5 ⎡0.990 =+2 1.568 +2 2.520 +4.090⎤ ⎣ ( ) ( ) ⎦ 2 3.3104 3.0 0.5 y 0.3 ： f x ,0.3 dx ⎡1.524 =+2 2.384 +2 3.800 +6.136⎤ ∫1.5 ( ) 2 ⎣ ( ) ( ) ⎦ 5.0070 表4-1 x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 y 0.5 0.165 0.428 0.687 0.942 1.190 1.431 1.0