性质一单调性性质二对称性.PDF

三次函数的性质 2015年11月13日 意琦行 数海拾贝 三次函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + （a ≠ 0 ）在高中阶段学习导数 后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对 其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆． 性质一    单调性 以a 0 为例，如图1，记Δ = b2 − 3ac 为三次函数图象的判别式， 则 图1  用判别式判断函数图象 当 时， 为 上的单调递增函数； Δ ⩽ 0 f (x) R 当Δ 0 时，f (x) 会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两 个极值． 性质一的证明     f (x) 的导函数为 ′ 2 f (x) = 3ax + 2bx + c, 其判别式为 4(b2 − 3ac) ，进而易得结论．   性质二    对称性 ( ( )) ( b ( b )) 如图2， f (x) 的图象关于点 P − , f − 对称（特别地，极 3a 3a 值点以及极值点对应的图象上的点也关于 P 对称）． 图2   图象的对称性 反之，若三次函数的对称中心为 (m, n) ，则其解析式可以设为 f (x) = α ⋅ (x − m)3 + β ⋅ (x − m) + n, 其中 α ≠ 0 ． 性质二的证明    由于 ( b )3 ( b2 ) ( b ) bc 2b3 f (x) = a x + 3a + c − 3a x + 3a − 3a + 27a2 + , 即 ( b )3 ( b2 ) ( b ) ( b ) f (x) = a x + + c − x + + f − , 3a 3a 3a 3a 于是性质二得证． l y = x3 + x + 1 A, B, C 例1    设直线 与曲线 有三个不同的交点 ，且 |AB| = |BC | = √5 l ，求直线 的方程． |AB| = |BC | B 解    由 可知 为三次函数的对称中心，由性质二可得 B(0, 1) l y = 2x + 1 ，进而不难求得直线 的方程 ． 例2    设函数f (x) = x (x − 1) (x − a) ，a 1 ． f′ (x) f (x) x x （1）求导数 ，并证明 有两个不同的极值点 ， ；