复变函数 刘敏思 第四章 习题解答.pdf

第四章 解析函数的幂级数表示 ∞ ∞ ∞ 1. 记z = x +iy ，证明：级数 z 条件收敛⇔ x 和 y 都收敛，且至少有一个条件收敛. n n n ∑ n ∑ n ∑ n n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 证明 级数 z 条件收敛 级数 z 收敛，且 z 发散 x 和 y 都收敛，且 ∑ n ⇔ ∑ n ∑ n ⇔ ∑ n ∑ n n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∑ xn 和∑ yn 至少有一个发散， n=1 n=1 ∞ ∞ 从而 x 和 y 至少有一个条件收敛。 ∑ n ∑ n n=1 n=1 2. 据理说明下列复级数的敛散性．若收敛，是绝对收敛还是条件收敛： ∞ iθ n ∞ iθ n (e ) (e ) （1）∑ （θ ≠ 2kπ ）； （2）∑ k （k1）； n=1 n n=1 n ∞ (1+i)n ∞ 1+i n （3） ； （3） ( ) ． ∑ n ∑ n=1 n n=1 2 iθ n inθ ∞ ∞ (e ) e cosnx sinnx cosnx sinnx 解（1）因为 = = +i ，而∑ 和∑ 都是条件收敛的，所以 n n n n n=1 n n=1 n ∞ iθ n (e ) 由第1题，∑ 收敛，且条件收敛。 n=1 n iθ n inθ ∞ ∞ iθ n (e ) e 1 1 (e ) （2）因为 k = k ≤ k ，∑ k （k1）收敛，所以，∑ k 绝对收敛。 n n n n=1 n