复变函数 刘敏思 第五章 习题解答.pdf

第五章 解析函数的罗郎展式与孤立奇点 1. 求下列函数在指定圆环内的罗郎展式： z+1 （1） ，指定圆环为： ， ， ， ； 0 z 1 1 z +∞ 0 z−1 1 1 z−1 +∞ 2 z (z−1) 2 z −2z+5 （2） ，指定圆环为： z 1，1 z 2； 2 (z−2)(z +1) z e （3） ，指定圆环为：0 z 1，1 z +∞； 2 z(z +1) 解（1）当0 z 1时， z+1 z−1+2 1 2 1 ∞ n 2 = 2 = 2 (1− )= 2 (1−∑2⋅z ) z (z−1) z (z−1) z 1− z z n=0 1 ∞ n 1 2 ∞ n−2 = 2 (−1−∑2⋅z )= − 2 − −∑2⋅z . z n=1 z z n=2 当1 z +∞时， z+1 z−1+2 1 2 1 2 1 2 = 2 = 2 (1+ )= 2 (1+ ⋅ 1) z (z−1) z (z−1) z z−1 z z 1− z 1 2 ∞ 1 1 ∞ 2 = 2 (1+ ∑ n)= 2 +∑ n+3 . z z z z z n=0 n=0 当0 z−1 1时， ′ z+1 1 z+1 1 z−1+2 z−1+2 ⎛ 1 ⎞ = ⋅ = ⋅ = ⋅ − 2 2 2 ⎜ ⎟ z (z−1) z−1 z