数值积分与数值微分解题方法专题.pdf

数值积分与数值微分 解题方法专题 一、 知识点复习 了解数值积分与数值微分的基本思想，掌握代数精确度的概念和插值型求积公式，如梯 形公式，Simpson 公式和牛顿—柯斯特公式，节点为高斯点的高斯公式，以及相应的复化求 积公式；掌握求数值微分的 Taylor 展开法、插值型求导公式和样条求导，并能对上述数值 方法进行误差分析；熟悉 Richardson 外推算法与数值积分的 Romberg 算法，从中体会加速 收敛的技巧。 1．数值求积公式、代数精度概念、插值型求积公式 b 定积分 I (f ) ∫f (x )dx 的数值求积公式 a b n f (x)dx ≈ A f (x ) ∫ ∑ i i a i 0 其中x 为求积节点，A (i 0,1,L,n) 为求积系数。 i i n 如果作被积函数f (x) 的n 次插值多项式L (x) ∑f (x )l(x ) 去代替被积函数f (x) ， n i i i 0 便得到插值型求积公式： b n f (x)dx ≈ A f (x ) （1） ∫ ∑ i i a i 0 其余项为 b b f (n+1) (ξ) n R f f x dx =−I f =∏x −x dx ( ) ∫a ( ) n ( ) ∫a (n +1)! j 0( j ) b −a 若取n +1个节点等距，即有xi a +ih(i 0,1,Ln) ，h ，则： n b n f