弹塑性力学_微分_解法.ppt

* * * * * 2。弹性力学问题的解法 应力函数解法 （5.43) 2。弹性力学问题的解法 应力函数解法 （5.44) 2。弹性力学问题的解法 应力函数解法 （5.44) 2。弹性力学问题的解法 应力函数解法 （5.45) 2。弹性力学问题的解法 应力函数解法 （5.46) 2。弹性力学问题的解法 综上所述，应力函数解法既保留了应力解法的优点（能直接求解应力分量），又吸收了位移解法的思想（能自动满足平衡方程），是弹性理论中最常用的解法之一。 2。弹性力学问题的解法 位移解法和应力解法的求解思路 3。弹性力学的一般理论证明叠加原理 某物体受两组载荷共同作用时的应力或位移场就等于每组载荷单独作用时的应力或位移场之和，且与加载顺序无关： （5.47) （5.48) （5.49) 3。弹性力学的一般理论证明叠加原理 以应力解法为基础证明应力场(5.48)是载荷(5.47)作用下的解，即能满足平衡方程： （5.50b) 应力协调方程 力边界条件 （5.50a) （5.50c) （5.29) 3。弹性力学的一般理论证明叠加原理 平衡方程： （5.50b) 应力协调方程 力边界条件 （5.50a) （5.50c) 3。弹性力学的一般理论证明叠加原理 （5.51a) （5.50a) （5.50c) （5.51b) （5.50b) （5.50c) （5.51c) 3。弹性力学的一般理论证明叠加原理 （5.51a) （5.51b) （5.51c) 3。弹性力学的一般理论证明叠加原理 （5.50a) （5.50b) （5.50c) 3。解的惟一性原理 从弹性力学问题的微分提法，一个实际的弹性力学问题： 一个偏微分方程组的边值问题 求解一个弹性力学问题，实际上是在严格的边界条件下求解一个复杂的偏微分方程组 一般情况下，很难直接得到数学上的解析解或精确解 ？？解是否存在和是否唯一 3。解的惟一性原理 弹性力学问题的解是存在的，而且在小变形条件下，对于受到一组平衡力系作用的固体，其内部各点的应力分量和应变分量是唯一的，如果在固体表面全部给定位移边界条件，静力边界条件或部分给定位移，部分给定力的边界条件，则解是唯一的。 3。解的惟一性原理 在小变形的条件下，线性弹性体在受到一组平衡力系作用时，应力和应变的解是唯一的，而且在给定上述边界条件的情况下，位移的解也是唯一的。这就是弹性力学解的唯一性定理，又称Kirchhoff解的唯一性定理. 反证法： 3。解的惟一性原理 3。解的惟一性原理 （5.52) （5.53) 齐次边界条件 （5.54) （5.55) 3。解的惟一性原理 将(5.53)式两边乘 3。解的惟一性原理 线弹性应变能公式(4.28) 3。解的惟一性原理 一般情况下，很难直接得到数学上的解析解或精确解。 各种求解方法 位移法 应力法 逆解法 半逆解法 各种近似法 数值解法 弹性力学问题的解的唯一性定理的重要意义：为其它不同方法提供了一个理论依据。 3。圣维南原理 一个实际的弹性力学问题在数学上总是可以归结为一个偏微分方程组的边值问题。因而， 弹性理论要求在固体表面上的每个边界点上都给定边界条件。 严格说，在表面 上给定的应力边界条件（5.8）以及在表面 上给定的位移边界条件（5.9）应该是逐点被满足的。 实际工程中，问题却往往只知道在固体边界总的荷载值，而其具体分布形式并不明确。 例如，柱体扭转时只知道其端部所受扭矩的大小，并不知道产生这种扭矩的端部力的具体分布。 3。圣维南原理 图1，2分别给出了某些弹性体在其局部区域内受不同分布式的外力的作用 图1 3。圣维南原理 图1，2分别给出了某些弹性体在其局部区域内受不同分布式的外力的作用 图2 3。圣维南原理 3。圣维南原理 3。圣维南原理 例如，在图3的杆的端部作用的是集中力 P,则我们又在杆端出增加一组平衡力系，它们可以被认为由大小相等，方向相反的两个均布力系P1和P2组成，且合力均为P。 图3 3。圣维南原理 利用圣维南原理可将一些较为复杂的问题化为较简单的问题来处理。按照力作用的局部性原理处理的弹性力学问题称为圣维南问题。 柱梯的扭转和弯曲是最典型的圣维南问题。 * * * * 2。弹性力学问题的解法 位移解法:具体推导 （5.22) （5.23) 本构方程（5.5） 2。弹性力学问题的解法 位移解法:具体推导 2。弹性力学问题的解法 应力解法 将第二组基本方程(5.7)简化为 加上 六个用应力分量表示的协调方程 边界条件 解出 六个用应力分量表示的协调方程 2。弹性力学问题的解法 应力解法:具体推导 由本构方程(5.4)给出应变用应力的表