数列求和技巧.ppt

数学趣闻——谁是高智商？ 在国际上，有一个成立于1946年的“高智商俱乐部”，到今已接纳过十万成员。其中，不少全球知名人士是其会员。要想加盟该俱乐部，实在不容易，必须经过3个小时的严格测试。我们来欣赏一道测试题。 题目 数2、5、26之后的下一个数是多少？ 右边是应试的人给的答案： 结论：给出数列的前三项，要写出其通项公式，结论不是唯一的。 思考：请用你认为最好的方法求和 练 习 * 一、公式求和法 1.等差数列前n项和公式 2.等比数列前n项和公式 2.{bn}: Sn= 练习:求下列各数列的前n项和Sn: 1.{an}:1,3,5,…,2n-1,…Sn= n2 1- 数列特点：数列的通项公式特征 很明确，是等差数列或者是等比 数列，能够直接用已经掌握的公式。 3、已知lg(xy)=a, 求Ｓ＝lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lgyn 问题：除了可以用公式求和，我们在研究数列的过程中，还有其它方法？ , + n 1 例.求数列 + 2 3 , + 的前n和 。 , 2 2 2 , 3 2 n 2 + 1 2 3 n 解： =(1+2+3+ …+n) 　　Sn=(1+2)+(2+ )+(3+ )+…+(ｎ+　) 2 2 3 2 ｎ 2 +(2+2 +2 +…+2 ) n 2 3 = n(n+1) 2 2(2 -1) 2-1 n + = n(n+1) 2 + 2 -2 n+1 … 二、分解重组求和法（分组转化法） 二、分解重组求和法（分组转化法） , + n 1 例.求数列 + 2 3 , + 的前n项和 。 ... , 2 2 2 , 3 2 n 2 + 1 2 3 n cn=an+bn ({an}、{bn}为等差或等比数列。） 项的特征 反思与小结： 　　要善于从通项公式中看本质：一个等差{n} ＋一个等比{2n} ，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题。（请见下一张相应的例题） 练 习 aSn=a +2a +3a + +(n-1)a +na ... 2 3 4 n n+1 解:由Sn=a+2a +3a + +(n-1)a +na ... 2 3 n-1 n 得 两式相减得 (1-a)Sn= a+a +a + +a +a -na ... 2 3 n-1 n n+1 = n+1 a(1-a ) n 1-a 2 (1-a ) a(1-a ) n - na Sn= na n+1 1-a 例.求Sn= a+2a +3a + +(n-1)a +na (a≠1) n n-1 ... 3 2 三、错位相减求和法 三、错位相减求和法 例.求Sn=1a+2a +3a + +(n-1)a +na (a= 1) ... 2 3 n-1 n cn=an·bn ({an}为等差数列,{bn}为等比数列) 项的特征 练习 2 n 求Sn=1 + + + + + 4 2 3 3 2 2 n n-1 n+1 2 ... 2 2 n Sn= 3- n+3 2 四、倒序相加法 教材等差数列前n项的和公式推导即为此法！ 例：已知lg(xy)=a, 求Ｓ＝lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lgyn 与首尾两项等距的两项之和等于首尾两项之和，则可先将Sn顺着写，再将Sn倒着写，最后将两个Sn相加。 Ｓ＝lgyn+lg(xyn-1)+lg(x2yn-2)+…+lgxn 2Ｓ＝lg(xy)n+lg(xy)n+lg(xy)n+…+lg(xy)n ＝(n+1)lg(xy)n ＝ n(n+1)lgxy Ｓ＝n(n+1)a/2 项的特征 a1+an=a2+an-1=……=定值 已知函数 ，那么 五、拆项相消求和法（裂项法） 1 2×5 求Sn= + + + + + 1 2×5 1 5×8 1 8×11 ... 1 (3n-4)(3n-1) 1 (3n-1)(3n+2) 1 2 1 5 = - 1 3 ( ) 1 2