数论专题经典50题详解版.PDF

奥数网 联系电话：02886133391 数论专题经典50 题详解版 ——————成都学而思赵晓凤老师整理 优秀篇 奇偶性 1. （1984 年第1 届迎春杯试题）50 ．有6 个学生都面向南站成一行， 每回只能有5 个学生向后转，则最少要转 回就能使这6 个学 0 0 0 0 0 0 生都面向北． 1 1 1 1 1 0 【分析】每个学生转奇数次就都面向北．这样总共需要转偶数次（6 个奇数 1 2 2 2 2 1 之和必是偶数）才能使6 个学生都面向北．由于每回只有5 （奇数）个学生 2 3 3 3 2 2 向后转，因此必须转偶数回才能使6 个学生都面向北．经检验，转二回或者 转四回都不能使6 个学生都面向北，转六回可以使6 个学生都面向北．具体 3 4 4 3 3 3 方法如下：规定 “△”表示面向南，而 “▽”表示面向北，并且 “△”与 “▽” 4 5 4 4 4 4 中的数字表示第几回转动（如图15）． 5 5 5 5 5 5 答：最少转6 回才能使6 个学生都面向北． 图15 说明：上述给出了转6 回可以使6 个学生都面向北的具体方法．如果把本题改为： “7个学 生都面向南站成一行，每回只能有6 个学生向后转，那么最少转多少回才能使7 个学生都面向北？” 有兴趣的读者不妨试一试． 2. 是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 45 若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。 【分析】由于1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55,55-45=10 ，则将加5 变成减5 ，即可。 所以，通过添加加号与减号能够使得等式成立，为： 1+2+3+4-5+6+7+8+9+10=45。 位值原理 3. (2009 年第7 届希望杯5 年级2 试第4 题，5 分) 一个十位数字是0 的三位数，等于它的 各位数字之和的67 倍，交换这个三位数的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它 的各位数字之和的 倍。 奥数网 联系电话：02886133391 【分析】令这个三位数为a0b ，则由题意可知，100a b 67(a b ) ，可得a 2b ，而调 换个位和百位之后变为：b0a 100b a 102b ，而a b 3b ，则得到的新三位数是它 的各位数字之和的102b 3b 34倍。 4. ， ， 分别是0 9 中不同的数码，用 ， ， 共可组成六个三位数，如果其中 a b c a b c 五个三位数之和是2234 ，那么另一个三位数是几？ 【分析】由 ， ， 组成的六个数的和是222 (a b c) ．因为2234 22210 ，所以 a b c a b c 10 ． 若a b c 11，则所求数为222 112234 208 ，但2 0 8 10 11 ，不 合题意． 若a b c 12 ，则所求数为22212 2234 430，但4 3 0 7 12 ，不 合题意