[数学]导数复习1.ppt

二、导数在求函数极值和最值中的应用： *4.极值： 函数在某点取得极值的充要条件是什么？等价表述，和单调性的联系 (1)若，则在R上无极值； (2) 若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值. *5.三次函数的零点个数(根的性质) 函数的图像与轴有几个交点？和函数的哪些性质相联系？ （联系函数的极值，进行等价转化） 一个交点：极大值小于0，或者是极小值大于0.也可以表述为“极大值与极小值同号”； 两个交点：极大值等于零，或者极小值等于零； 三个交点：极大值大于零，极小值小于零. ↗　 ↘　 极大值 ↗　 　 + 0 - 0 + 　 　 0 （-2,0） -2 　 　 热点题型2:　函数的极值 已知函数 解： * 已知极值，求参数 例4 函数 在 时有极值10， 求a，b的值 解:由题设条件得： 解之得 通过验证，都合要求。 注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 注意代入检验 7.(2009·汕头模拟)已知函数 +1既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是 . 解析 f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),令f′(x)=0,得 x2+2ax+a+2=0,Δ=4a2-4(a+2)0 ∴a2或a-1. f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x a2或a-1 * （4）.对数函数的导数: （5）.指数函数的导数: （3）.三角函数 ： （1）.常函数：(C)/ ? 0, (c为常数)； （2）.幂函数 ： (xn)/ ? nxn?1 一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式 1、基本初等函数的求导公式 2. 函数的和、差、积、商的求导法则 设 ) ( ), ( x v v x u u = = 可导，则 （ 1 ） v u v u ￠ ￠ = ￠ ) ( , （ 2 ） u c cu ￠ = ￠ ) ( （ 3 ） v u v u uv ￠ + ￠ = ￠ ) ( , （ 4 ） ) 0 ( ) ( 2 1 ￠ - ￠ = ￠ v v v u v u v u . ( 是常数) 2. 函数的和、差、积、商的求导法则 设 ) ( ), ( x v v x u u = = 可导，则 （ 1 ） v u v u ￠ ￠ = ￠ ) ( , （ 2 ） u c cu ￠ = ￠ ) ( （ 3 ） v u v u uv ￠ + ￠ = ￠ ) ( , （ 4 ） ) 0 ( ) ( 2 1 ￠ - ￠ = ￠ v v v u v u v u . ( 是常数) 3.复合函数的求导法则 （注意:函数的复合过程,合理分解 ,正确使用链导法） 求下列函数的导数 5、y=lncos x， . 5 设y=lncos x，求 . 解 令 4 解 求下列函数的导数 (6)根据求导法则(2),得 设描述质点运动位置的函数为 而在 时刻的瞬时速度为 自由落体运动 则 到 的平均速度为 导数的物理意义: 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 即: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数. P Q o x y y=f(x) 割线 切线 T 曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来判断与求解. 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个. 求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程. 解:设所求切线的切点在A(x0,y0). 因为A是曲线y=x2上的一点,所以,y0=x02 ①. 又因为函数y=x2的导数为 所以过点A(x0,y0)的 切线的斜率为 由于所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,故其斜率又 应为 ②. 联立①,②解得: 例3 故切点分别为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2; 当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10; 所以所求的切线有两条,方程分别为:y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5),即y=2x-1或y=10x-25. 小结:曲线上求在点P处的切线与求过点P的切线有区别. 在点P处的切线,点P必为切点,求过点P的切线,点P 未