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第七章 广义逆矩阵 广义逆矩阵方程 设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的逆矩阵A-1，它具有如下性质： ---广义逆矩阵方程 存在性证明 各类广义逆的关系 几种常用的广义逆矩阵 广义逆A- A{1}是指仅满足第一个Penrose方程的广义逆，即若 AA-1A=A, 则记 定理 A{1}的表示通式 广义逆矩阵A+的计算：方法一 利用满秩分解 如果矩阵A有满秩分解A=BC，则有A+的表达式，即 如果矩阵A是行满秩的，A有满秩分解A = Im A， 则A+的表达式为 例１： 求广义逆 广义逆矩阵A+的计算：方法二－－奇异值法 广义逆A+的性质 设 12、当A 是Hermite矩阵时， 举例说明广义逆不具有通常意义下逆矩阵的下列性质： （4）A与A+的非零特征值并不互为倒数。 例证1 例证2 （二）相容方程组的最小范数解 定义 相容线性方程组 的所有解中2范数最小的解称 为方程组的最小范数解，记为 （三）不相容方程组的最小二乘解 （四）不相容方程组的最佳逼近解 原方程组的通解为 其中 为任意向量。 定理 相容线性方程组 的最小范数解是唯一的，并且可表示为 其中 是A的最小范数广义逆。 例2、求方程组 的最小范数解 由于A为行满秩矩阵，因此 为满秩方阵，则有 所以 即 从而 此解即是 中欧氏范数最小的一个 一个线性方程组 是矛盾方程组或不相容方程组，它没有通常意义下的解，但可以寻求该方程组在某种含义下的近似解。 * 广义逆矩阵是逆矩阵的推广，与线性方程组的求解有密切联系。给定一个线性方程组 Ax=b，当矩阵A可逆时，线性方程组的解可表示为x=A-1 b 当矩阵A是奇异矩阵或不是方阵时，线性方程组的解应如何表示呢？当线性方程组是矛盾方程，或者说是不相容方程时，线性方程组能否有其它意义下的解，这种解又应当如何表示呢？ 把逆矩阵推广到不可逆方阵或长方矩阵上，这就是所谓的广义逆矩阵。 广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵一致，而且广义逆矩阵可以给出线性方程组（包括相容的和矛盾方程组）各种解的统一形式。 主要内容： 1·广义逆矩阵及其分类 2·A+的计算 3·几类弱逆 4·广义逆矩阵与线性方程组的解 或者说， A-1是下述矩阵方程组的解 设 若矩阵 满足如下四个（Penrose) 方程 则称X为A的Moor –Penrose逆，记为A+ 例：容易由定义直接验算： 若 则 可以验证X满足广义逆矩阵方程 设 ，A+存在且唯一，即广义矩阵方程组 定理 有唯一解 设 若 则A是 阶零矩阵，可以 验证 阶零矩阵满足四个方程。 对于矩阵方程 如果矩阵G仅满足其中的一个或几个时，可以定义不同的广义逆矩阵。 因此，共可定义 类不同的广义逆。 由A+的存在性可知，15类广义逆都存在，除A+是唯一确定的外， 其余各类广义逆矩阵都不唯一确定。 几 类 弱 逆 A{i} ={ |G满足第i个Penrose方程} 对于矩阵 ，记 A{i,j} ={ |G满足第i,j个Penrose方程} A{i ,j ,k} ={ |G满足第i,j,k个Penrose方程} 广义逆集合 A{1},它的形式记为 A{1,2},它的形式记为 A{1,3},它的形式记为 A{1,4},它的形式记为 --最小二乘广义逆 --自反广义逆 最小范数广义逆 说明： 1)利用初等行变换，可以求得A- 2）A的减号逆A-不唯一。 例：设 容易验证 均满足 故B，C都是A的减号逆. 3)矩阵A有唯一的A-充分必要条件是A为非奇异矩阵，此时 A-=A-1 此定理表明：只要求出 中的一个元素，就可得到 中所有的元素。 因此广义逆A+是通常逆矩阵概念的一种推广。 广义逆矩阵A+与通常逆矩阵有许多类似的性质，但也有一些不同。 如果A是非奇异矩阵，则 并且由上面的公式计算出 ，从而 如果矩阵A是列满秩的，A有满秩分解A = A I n， 则A+的表达式为 特别地，设 为n维列向量，