[数学]插值何1.ppt

前言 函数是多种多样的，在科研与工程实际中有的函数表达式过于复杂而不便于计算，但又需要计算多点的函数值；有的函数甚至给不出数学式子，只能通过实验和测量得到一些离散数据（如某些点的函数值和导数值）。面对这种情况，很自然的一个想法就是构造某个简单的函数作为要考察的函数的近似 。 如果要求近似函数满足给定的离散数据，则称之为的插值函数。实用上，我们常取结构相对比较简单的代数多项式作为插值函数,这就是所谓的代数插值。 证明: 设 , 其中 为待定系数.利用插值条件 ,我们得到一个线性代数方程 组 ,其中 观察发现矩阵A是范德蒙矩阵,那么,由几代知识知道矩阵A 的行列式 为 ,由定理中条件,插值结点为彼此互异的, 那么行 列式不为零.故由Cramer法则知线性代数方程组 存在唯一解. 三、Lagrange插值法 引入记号 , 易证 , 从而Lagrange插值多项式可表示为 (2) Newton插值公式 由差商定义 把以上各式由后向前代入,可得 例2:已知 求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。 解: *多项式插值的问题 前面介绍了构造插值公式的方法，并分析了它 们的余项。在实际应用插值函数作近似计算时，总 希望插值公式余项 的绝对值小一些，即使得 逼近的精度好。从表达式看，似乎提高插值多项式 的次数便可达到目的，但实际上并非如此。 例如 给定函数 取其等距节点 ， 构 造的Lagrange插值多项式为 当 时， 只能在 内收敛，而 在这个区间以外是发散的。这种畸形现象 通常叫做Runge现象。如下图所示。 这样，由上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条件，就能得出4n个方程，可以惟一确定4n个系数。从而得到三次样条插值函数S(x)在各个子区间?xi , xi+1?上的表达式S(xi）(i=1,2,…,)。但是，这种做法当n较大时，计算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单的构造方法。 三次样条插值函数的求法 设S(x)在节点xi处的二阶导数为 因为在子区间?xi-1,xi?上 是三次多项 式,所以 在此小区间上是x的线性函数,且因为用线性插值,可知其表达式为 记 ，则有 其中,Ai,Bi为积分常数,可利用插值条件 确定,即要求Ai,Bi满足 并记 ，则得 连续两次积分得 由上讨论可知,只要确定 这n+1个值, 就可定出三样条插值函数S(x)。为了求出 ,利用一阶导数在子区间连接点上连续的条件 ，求导一次,得在区间?xi-1,xi?上的表达式为 也就是在右端点xi上有 在左端点xi-1上有 将上式中的i-1改为i,即得在子区间?xi,xi+1?上的表 达式 ,并由此得 利用 在内接点的连续性,即 就可得到关于参数 的一个方程 上式两边同乘以 ,即得方程 若记 则所得方程可简写成 即 这是一个含有n+1个未知数、n-1个方程的线性方程组.要完全确定 的值还需要补充两个条件,这两个条件通常根据实际问题的需要，根据插值区间?a,b?的两个端点处的边界条件来补充。边界条件的种类很多，常见的有以下3种： 第一种边界条件：即已知插值区间两端的一阶导数值： 则可得到包含Mi的两个线性方程,S(x)在子区间? ?上的导数为 由条件 得 即 同理