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[数学]数学建模——混沌模型
一.目的 表一 亿 表二 亿 * * 从物种增长的Malthus 模型到浑沌 hzsong ● 函数的迭代、不动点和有关的作图 ● 介绍了用数值迭代、蛛网迭代和密度分布 等方法来研究浑沌 ● 介绍浑沌的倍周期分叉、遍历性和某些普适 结构 ● 计算机与科学研究(即使是数学) 二.问题的提出 ● 什么是浑沌? 出现在各个领域:数学、物理、 生物、金融、经济、管理、文学等等。 从某些简单的离散的数学模型开始,进而讨论由此引起的复杂而有趣的现象 宇宙的起源 龙卷风的产生、厄尔尼诺现象 东南亚金融危机爆发 “侏罗纪公园”中的恐龙重现 ● 我们的讨论 三.数学模型 ● Malthus 模型 设xn是某人类群体在第n个时间段(例如年)末时的总数,若在单位时间段内人口相对增长率为r(出生率与死亡率之差),那么人口增长数与原人口数成正比,从而 xn+1= xn +r xn 即 xn+1 = a xn 其中 a=r+1. 这是一个如下线性映射的迭代 f (x) = a x 从而 xn= a xn-1= a2xn-2 =…= an x0 Malthus的结论:人口增长呈几何级数 约35年增加一倍,与1700-1961年世界人口统计结果一致 与近年统计结果有误差,由a 1,xn趋向无穷,模型在人口长期预测方面必定是失效的. . ● Logistic模型 生存资源是重要的因素,修改的模型为: xn+1 - xn= r xn- b xn2 其中- b xn2为竞争或约束项,r、b 称生命系数 记a=r+1,那么 xn+1= a xn- bxn2 数据观察 (迭代计算与国家统计局发表数字比较) 基本接近 存在极限值 这是一个如下非线性映射的迭代 f(x)=ax-bx2 四.问题的讨论和分析 ● Logistic映射 通过变量代换简化为logistic 映射 f(x)=a x(1- x), x在[0,1]内变化 相应的迭代为 xn+1=a xn(1-xn) 从[0,1]内点x0出发,由Logistic映射的迭代形成了一个序列,即 xn=f n(x0), n = 0,1,2,… 序列{xn}称为x0的轨道 ● 数值迭代 1.倍周期分叉现象 ■ 当0a 1时,由于0xnaxn+1 xn →0 物种逐渐灭亡 ■ 当1a3时,任何(0,1)中初始值的轨道趋于 x*=1-1/a 其中x*是方程f(x)=x的解,为映射f 的不动点(周期1点)例:a=1.5时 xn → 1/3. 两个不动点x1*, x2* ,一个稳定(吸引),另一个不稳定,轨道{xn}趋向稳定点 这两个数满足 ■ 当3a1+61/2时, xn 绕着两个数 x3*,x4*振动, 例a =3.2 x2k-1 →0.799455 x2k →o.513045 ■ 当1+61/2a3.5440903506…时, 从任意的点x0出 发的轨道将逐渐沿着四个数值振动 例a=3.45 x4k → 0 x4k+1 → 0 x4k+2 → 0 x4k+3 → 0也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期点失稳) 这四个数满足 称为周期4点,对应轨道称周期4轨道(原有周期点又失稳) 若a再增大,周期4点又会失稳,而产生新的稳定周期8点,这个周期不断加倍的过程将重复无限次,会依次出现周期16点,周期32点…. ,
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