[数学]数学物理方法第5章傅里叶变换.ppt

第五章 傅里叶变换 3. 几个物理问题 §5.1傅里叶级数 一、狄里希利定理： 例1：交流电压 ，经过半波整流，负压被“削去”（如图5.2所示），试研究半波整流电压的傅里叶级数。试研究半波整流电压 的傅里叶级数。 在周期 内： 二、傅里叶级数的物理意义和信号频谱 1．傅里叶级数的物理意义 周期性的非简谐物理量可以分解为一系列简谐物理量的叠加，简谐物理量的频率只能是原物理量频率的整数倍。 其中 称为直流分量，与原物理量同频的简谐分量称为基波，频率是原物理量频率倍的简谐分量称为次谐波。 三、奇的和偶的周期函数 1．奇的周期函数 如果 是以 为周期的奇函数，满足狄里希利条件，则 可展开为正弦傅里叶级数。 2．偶的周期函数 如果 是以 为周期的偶函数，满足狄里希利条件，则可展开为余弦傅里叶级数。 例3：如图5.6所示， 是以 为周期的周期函数，在 周期上 ，试求其傅里叶级数。 解： 四、定义在有限区间上的函数的傅里叶级数 是定义在区间 上的函数，该函数一定不是周期函数，将该函数展开为傅里叶级数的方法如下： ⅰ）找一周期函数 ，满足条件：当 时,有 。 ⅱ）将 展开为傅里叶级数，该级数在整个实轴上成立。 ⅲ）把变量 限制在区间 ，得到 的傅里叶级数。 例4：定义在区间 上的函数 ，试把它展开为傅里叶级数。 解:方法一：偶延拓法，所找的周期函数 为偶函数,如图5.7(a)所示。 方法二：奇延拓法，所找的周期 函数为奇函数，如图5.7(b)所示。 【几点结论】 1. 定义在有限区间上的函数的傅里叶级数展开有无穷多种形式。 2. 偶延拓可使级数满足边界条件 奇延拓可使级数满足边界条件 。 五、复数形式的傅里叶级数 如果 是以 为周期的周期函数，且满足狄里希利条件，则可把 展开为以下的复数形式的傅里叶级数。 §5.2傅里叶积分与傅里叶变换 问题的提出：周期性的非简谐物理量可分解为一系列简谐物理量的叠加。在物理学中更广泛的是非周期性的物理量，如一段歌曲的声波是非周期性。那么，非周期的物理量能否也可分解为一系列简谐物理量的叠加呢？ 一、实数形式的傅里叶变换 傅里叶积分定理： 如果是定义在 上的非周期函数，满足以下两个条件：⑴在 的任意有限的区间上满足狄里希利条件，⑵在 上绝对可积，即 存在。则 可表示为： 二、奇和偶函数的傅里叶变换 1.如果 是奇函数，则： , 例1：矩形脉冲函数如图5.9所示， 三、傅里叶积分与傅里叶变换的物理意义 1. 傅里叶积分的物理意义：非周期性的物理量可分解为一系列简谐物理量的叠加。 傅里叶级数中简谐物理量的频率是分立的，只能等于原物理量频率的整数倍； 傅里叶积分中简谐物理量的频率是连续的，可取任意值。 2. 频谱：谐波的幅度 与谐波频率之间的关系 称为信号的频谱。 四、复数形式的傅里叶变换 傅里叶积分还可以表示为以下的复数形式： 例3：把矩形脉冲展开为复数形式的傅里叶积分。 五、傅里叶变换的性质 1. 傅里叶变换的定义 如果 ， ，则称 为 的傅里叶变换，记为 ；称为 的逆傅里叶变换，记为 。 例4：单位阶跃函数 ，试 求函数 的傅里叶变换像函数。 解： 2. 傅里叶变换函数表 3. 傅里叶变换的基本性质 (1)线性性质： (3)积分定理：若 (6)位移定理： 例5：已知某函数的傅里叶变换的像函数为