[数学]方差与矩.ppt

§3.2 随机变量的方差和矩 一、方差的概念 引例2 比较两射手的技术 2. 方差的定义 3、随机变量方差的计算 例1 (正态分布) (2) 利用公式计算 例2 例3 二、方差的性质 性质3.7 设随机变量 X, Y 相互独立, 且D?X?, D?Y? 存在, 则 D?X ? Y? ? D?X? ? D ?Y? . 例4 性质3.8 (切比谢夫不等式) 例5 性质3.9 例6 2. 常见概率分布相应的方差 例8 (泊松分布) 例9 (几何分布) 例10 (均匀分布) 例11 (指数分布) 三、矩的概念 2. 原点矩与中心矩的关系 注1o 例12 四、应用实例 例14 现代证券组合理论(Markowitz均值-方差模型) 内容小结 备用题例1-1 例2-1 例4-1 例4-2 例5-1 切比谢夫(Pafnuty Chebyshev) 性质 3.10 证 显然答案为D. 设X是随机变量, D 例7 (二项分布) 解 则有 设随机变量X服从参数为n, p二项分布, 其 又因为 分布律为 设随机变量 , 求D?X?. 解 则有 又因为 设随机变量 设X ? P?? ?, 且分布律为 所以 因而, 泊松分布的数学期望与方差都等于参数?. 解 则 又因为 设随机变量X服从几何分布, 设随机变量X的分布律为 求D?X?. 所以 解 设随机变量X服从均匀分布, 则有 求D(X). 解 设随机变量X ~ Exp???, 则 泊松分布 几何分布 np(1－p) np 二项分布 X~B(n, p) p(1－p) p 0-1分布 X~B(1, p) D(X) E(X) 分布律 分布 k ? 0,1 k ? 0,1,2,…,n k?0,1,2,… k?1,2,… 常见离散型分布对应的数学期望与方差 特例: 1. 矩的概念 定义3.4 定义3.5 存在, 则称它为X的k 阶原点矩 ak , 即 设X是一随机变量, 且 a1? E?X?, 特例: a1? E?X?是X的数学期望. 存在, 则称它为X的 k阶中心矩, 记为 二者之间可以相互唯一表达, 关系如下: 以上数值特征都是随机变量函数的数学 期望; k阶原点矩和k阶中心矩可以互相 唯一表示. 随机变量X的数学期望E?X?是X的一阶 原点矩, 方差为二阶中心矩; 三阶中心 矩E?X?E?X??3, 主要用来衡量随机 变量的分布是否有偏. 2o 在实际中, 高于四阶的矩很少使用. 四阶 中心矩E?X?E?X??4, 主要用来衡量随机 变量的分布在均值附近的陡峭程度如何. 3o 解 解 设X为n次试验中事件A发生的次数, 则 例13 在每次实验中, 事件A发生的概率为0.5, X~B(n,0.5), 要使得事件出现的频率在0.35~0.65之间的概率 不小于0.95, 至少需要做多少次重复实验? 因此, n ? 222.2, 所以至少需要223次独立实验. 在证券投资中, 为了分散风险, 采取证券组合投资 的方式, 如何衡量哪一种组合投资更有效呢? 一般采用提高平均收益, 降低投资风险的方法. 设投资组合收益为 证券组合投资问题就转化为, 寻找n种证券的投资 比例?1, ?2,…,?n使得平均收益最大, 而组合投资的 方差越小. 1. 方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散 程度的量. 如果D(X)值大, 表示X 取值分散程度 大, E(X) 的代表性差; 而如果D(X)值小, 则表示 X的取值比较集中, 以E(X)作为随机变量的代表 性好. 2. 方差的计算公式 3. 方差的性质 4. 切比谢夫不等式 随机变量X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩; 方差为二阶中心矩. 5. 矩是随机变量的数字特征. 设随机变量X的概率密度为 求X的数学期望E(X)与方差D(X). 由方差公式得 解 设随机变量X的概率密度为 其中 0? a ? 2, 求E(X)与D(X)的最大值与最小值. 解 已知 0? a ? 2, 于是当a ? 0时, 数学期望E(X)取 最大值 2?3. 当 a ? 2 时, 数学期望取最小值1?3 . 从而可知, 当 a ? 1 时, 方差取最大值1/12; 当 a ? 0 或 a ? 2时, 方差取最小值1/18 . 由方差公式得 因为 设随机变量X1, X2, X3, X4 相互独立, 求E(Y), D(Y). 解 因为X1, X2, X3, X4相互独立, 则有 下 回 停 一、方差的概念 二、方差的性质 三、矩的概念 四、应用实例 1. 问题的提出 引例1 有两批灯泡, 其平均寿命都是 E(X)?1000 哪一批灯泡寿命更为稳定? 小时. 甲射手 乙射手 显然二者的平均水平为9环, 也就是两射手