[数学]概率05.ppt

* 2.4.1 连续型随机变量的概念 如果随机变量的取值能充满实数轴上的某个区间，甚至于整 个实数轴。这样的随机变量称为连续型随机变量。 定义：设随机变量 X 的分布函数为 。若存在非负可积 函数 ，使得对于任一实数 x 有 ① 则称 X 是连续型随机变量，其中函数 称为 X 的概率密 度函数，简称为概率密度。 2－4 2-4 连续型随机变量 一个重要等式 并由此可见，连续型随机变量取值得概率规律完全由其概率 密度所决定。 概率密度的性质： （1） （2） 反之，任何一个函数 满足了（1）、（2），则由①定 义的 也一定是某个连续型随机变量的分布函数。 注意：连续型随机变量X在一个点上取值的概率恒为0 例1：设连续型随机变量X的概率密度函数为： ， -∞ x +∞，求常数C。 解：由概率密度函数的性质知： 由于连续型随机变量X的分布函数为 是其概率密度函数变 上限积分所定义的函数，故 一定可导，且有性质： 这个性质说明，连续型随机变量的分布函数一定是连续函 数。同时也给出了由分布函数求概率密度函数的方法。 例2：设连续型随机变量X的分布函数为 求常数A及其概率密度函数 。 解：由分布函数的性质（3）可知， 在 处是连续的， 所以在 处其左、右极限都应该是1，因此A＝1。 显然 而 所以 ，即概率密度函数为: 我们还可以看 ， 它们也都满足概率密度函数的性质，所以，本题的密度函数 也可以取为 或 。 注意：一般的，同一个连续型随机变量X的概率密度函数 可以有许多，但它们除了在有限个点或可数个点上不相等 外，其它点都相等。也即连续型随机变量X的概率密度函 数是“几乎处处”唯一的。 例3：设连续型随机变量X的概率密度函数为 求X的分布函数 。 注意：（1）在计算连续型随机变量X在某一区间内的概率时， 可以不必区分是开区间还是其它类型的区间，它都等于概率密 度函数在此区间上的定积分。 （2）对连续型随机变量X而言，概率为0的事件未必是 不可能事件；概率为1的事件也未必是必然事件。 2.4.2 几个重要的连续型随机变量 1. 均匀分布 则称X在区间 上服从均匀分布，记为 ～ 。 设有连续型随机变量X，其概率密度为 分布函数： 例4：设 r.v.K～ ，求方程 有实 根的概率。 解：K 的密度： 方程有实根，即 2. 指数分布 若 r.v.X 具有密度： 分布函数： 其中， 是常数，则称 X 服从参数为 λ 的指数分布。 记为：X～ 。 （指数分布又常被称为寿命分布） 例5：某种电子元件寿命服从参数 λ ＝0.0001（小时）的指数 分布。问：5个这样的元件连续使用了2000小时后恰有2个损 坏的概率和没有一只元件损坏的概率。 解：密度为： 一个元件的寿命大于2000小时的概率为 2000小时后该元件损坏的概率为： 记 ξ 为 5 个元件使用2000小时后损坏的个数，则： ξ～ 所以，2个元件损坏的概率 没有元件损坏的概率 指数分布的特性：无记忆性。 我们看下面的例子： 例6：某种电器元件的使用寿命X服从参数为 θ ＝2000的指数 分布（单位：小时） （1）任取一个元件，求能正常使用1000小时以上的概率。 （2）求其正常使用1000小时后还能使用1000小时的概率。 解：X的密度为 （1） （2） 由本题可见，指数分布的无记忆性；其实，不仅是指数分布有 这样的性质，几何分布也同样具有这样的性质。 一般的，有 3. 正态分布 如果连续型随机变量ξ的密度函数为： 其中μ、σ都是常数(-∞μ+∞，σ0)，则称ξ服从参数为 μ、σ的正态分布，记为：ξ～N(μ,σ2) 。 正态曲线具有以下性质： （1）曲线位于X轴的上方，以直线x=μ为对称轴，它向左向 右对称地无限延伸，并且以X轴为渐近线； （2）当x=μ时曲线