[数学]概率论与数理统计第二章1.pptVIP

概率论与数理统计 第二章随机变量及其分布 第1讲 §1 随机变量 为了全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 将随机试验的结果与实数对应起来, 将随机试验的结果数量化, 引入随机变量的概念.在随机试验完成时, 人们常常不是关心试验结果本身, 而是对于试验结果联系着的某个数感兴趣. 例1 在一袋中装有编号分别为1,2,3的3只球. 在袋中任取一只球, 放回. 再取一只球, 记录它们的编号. 计算两只球的号码之和. 试验的样本空间S={e}={i,j},i,j=1,2,3. 这里i,j分别表示第一,二球的号码. 以X记两球号码之和, 对于每一个样本点e, X都有一个值与之对应, 如图所示. 例2 将一枚硬币抛掷3次. 关心3次抛掷中, 出现H的总次数, 而对H,T出现的顺序不关心. 比如说, 我们仅关心出现H的总次数为2, 而不在乎出现的是HHT,HTH还是THH. 以X记三次抛掷中出现H的总数, 则对样本空间S={e}中的每一个样本点e, X都有一个值与之对应, 即有 定义 设随机试验的样本空间为S={e}. X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数. 称X=X(e)为随机变量. 有许多随机试验, 它的结果本身是一个数, 即样本点e本身是一个数. 我们令X=X(e)=e, 则X就是一个随机变量. 例如, 用Y记某车间一天的缺勤人数, 以W记录某地区第一季度的降雨量, 以Z记某工厂一天的耗电量, 以N记某医院某一天的挂号人数. 那么Y, W, Z, N都是随机变量.本书中, 一般以大写字母如X,Y,Z,W,...表示随机变量, 而以小写字母x,y,z,w,...表示实数. 随机变量的取值随试验结果而定, 而试验的各个结果出现有一定的概率, 因而随机变量的取值有一定的概率. 例如, 在例2中X取值为2, 记成{X=2}, 对应于样本点的集合A={HHT, HTH, THH}, 这是一个事件, 当且仅当事件A发生时有{X=2}. 则称P(A)=P{HHT, HTH, THH}为{X=2}的概率, 即P(X=2)=P(A)=3/8. 类似地有 一般, 若L是一个实数集合, 将X在L上取值写成{X?L}. 它表示事件B={e|X(e)?L}, 即B是由S中使得X(e)?L的所有样本点e所组成的事件. 此时有 P{X?L}=P(B)=P{e|X(e)?L},随机变量的取值随试验的结果而定, 在试验之前不能预知它取什么值, 且它的取值有一定的概率. 这些性质显示了随机变量与普通函数有着本质的差异. §2 离散型随机变量及其分布律 有些随机变量, 它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个, 这种随机变量称为离散型随机变量. 例如§1例2中的随机变量X, 它只可能取0,1,2,3四个值, 它是一个离散型随机变量. 又如某城市的120急救电话台一昼夜收到的呼唤次数也是离散型随机变量. 若以T记某元件的寿命, 它所可能取的值充满一个区间, 是无法按一定次序一一列举出来的, 因而它是一个非离散型的随机变量. 本节讨论离散型随机变量 要掌握一个离散型随机变量X的统计规律, 必须且只需知道X的所有可能取的值及取每一个可能值的概率.设X所有可能取的值为xk(k=1,2,...), 而 P{X=xk}=pk, k=1,2,.... (2.1)由概率的定义, pk满足如下两个条件 称(2.1)式 即: P{X=xk}=pk, k=1,2,.... 为离散型随机变量X的分布律. 分布律也可用表格的形式来表示: 例1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯, 每组信号灯以1/2概率允许或禁止汽车通过. 以X表示汽车首次停下时, 它已通过的信号灯组数(设各组信号灯的工作是相互独立的), 求X的分布律.解 以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率, 易知X的分布律为 补充例题: 盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡,其中10个螺口,5个卡口.灯口向下放着.现在需要1个螺口灯泡,从盒子任意取一个,若取到的是卡口灯泡就不再放回去.求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数 X 的分布. 解:依题意知 X 的可能取值为:0、1、2、3、4、5 则X 的分布律为： 下面介绍三种重要的离散型随机变量.(一) (0-1)分布 设随机变量X只可能取0与1两个值, 它的分布律是 P(X=k)=pk(1-p)1-k, k=0,1 (0p1),则称X服从(0-1)分布或两点分布.(0-1)分布的分布律也可写成 对一个随机试验中的任何一个给定的事件A, 0P(A)1, 都可以根据事件A定义一个服从0-1分布的随机变量来描述. 例如： 对新生婴儿的性别进行登记, 男性记为“1”、女性记为“