[数学]概统31节.ppt

例3 例6设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为 (1) 注意 边缘正态分布不能确定联合正态分布 x+y=1 y = x 1 0 x y (2) 0.5 x+y=1 y = x 1 0 x y y = x 1 0 x y 0.5 其中k 为常数. 求 1)常数 k 2)分布函数 3) 求边缘密度函数 K=6 0 其它 其它 * 第 三 章 多维 随机变量及其分布 在实际问题中, 试验结果有时需要同 时用两个或两个以上的 r.v.来描述. 例如 用温度和风力来描述天气情况. 通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究 需考虑多维 r.v.及其取值规律—多维分布. 钢的成分. 要研究这些 r.v.之间的联系, 就 §3.1 二维随机变量及其分布 定义 设?为随机试验的样本空间， 则称( X , Y )为二维r.v.或二维随机向量 研究对象： 二维r.v.作为一个整体的概率特性 其中每一个r.v.的概率特性与整体 的概率特性之间的关系 §3.1 二维随机变量的联合分布函数 定义 设( X , Y ) 为二维 r.v. 对任何一对 定义了一个二元 实函数 F ( x , y )，称为二维 r.v.( X ,Y ) 的分布函数，即 (记为 ) 的概率 实数( x , y ), 事件 分布函数的几何意义 如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v. (X , Y )的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率. (x, y) x y 联合分布函数的性质 x y (x, y) x y ① F性质 x y x y 固定 x , 对任意的 y1 y2 , 固定 y , 对任意的 x1 x2 , F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ) F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 ) 对每个变量单调不减 ② 对每个变量右连续 ③ F (x, y1) ? F (x, y2) F (x1,y) ? F (x2, y) F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) ? 0 事实上 对于任意 a b , c d ④ – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) F (b,d) a b c d 注意 对于二维 r.v. x y a c (a,c) (a,+?) (+?,+?) (+?,c) 二维随机变量的边缘分布函数 x y x x y y 由联合分布函数 边缘分布函数, 逆不真. 例2 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为 其中A , B , C 为常数. 确定A , B , C ； 求X 和Y 的边缘分布函数； 求P (X 2) 例2 解 (1) (2) (3) 可以将二维 r.v.及其边缘分布函数的 概念推广到 n 维 r.v.及其联合分布函 数与边缘分布函数 定义 若二维 r.v.(X ,Y )所有可能的取值 为有限多个或无穷可列多个, 则称 (X ,Y ) 为二维离散型 r.v. 要描述二维离散型 r.v.的概率特性及 其与每个 r.v.之间的关系常用其联合 分布率和边缘分布率 二维离散型 r.v.及其概率特性 离散 联合分布律 设( X ,Y )的所有可能的取值为 则称 为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合分布率 显然， 二维离散 r.v.的联合分布函数 已知联合分布律可以求出其联合分布函数 反之, 由分布函数也可求出其联合分布律 二维离散 r.v.的边缘分布律 由联合分布可确定边缘分布,其逆不真. x1 xi X Y ( X ,Y ) 的联合分布律 y1 yj 1 x1 xi pi? p1? pi? p? j p?1 p? j yj y1 X Y 联合分布律 及边缘分布律 的求法 ⑴ 利用古典概型直接求； ⑵ 利用乘法公式 例3 某校新选出的学生会 6 名女委员, 文、 理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机 指定 2 人为学生会主席候选人. 令X , Y 分 别为候选人中来自文、理科的人数. 解 X 与Y 的可能取值分别为0 , 1与0 , 1 , 2. 求(X, Y) 的联合分布律和边缘分布律. 由乘法公式 或由古典概型 相仿有 故联合分布律与边缘分布律为 0 1 0 1 2 3/15 6/15 1/15 3