[数学]矩阵代数.ppt

矩阵代数 Matlab的最初设计目的就是为程序员或科研人员编写专业化的数值线性代数程序提供一个简单实用的接口。 矩阵代数只涉及到一维和二维数组，就是向量和矩阵。 矩阵运算 x+y 矩阵加法 x-y 矩阵减法 x*y 矩阵乘法 x/y 矩阵右除 x\y 矩阵左除 X’ 矩阵共轭转置 X.’ 矩阵转置 矩阵的加减 矩阵的乘法 利用矩阵乘法求解递归问题 对于递归问题，可以构造线性递归方程组，进而构造两个向量之间的递归关系，并利用Matlab的矩阵计算功能来求解。 例：Fibonacci序列 1202年，Fibonacci（斐波纳契 ）在一本书中提出了一个问题：如果一对兔子出生一个月后开始繁殖，每个月产生一对后代，现在有一对新生的兔子，如果兔子没有死亡，那么第20个月月初会有多少兔子。这就是著名的Fibonacci序列。 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…… Fibonacci规则： 斐波纳契数列的通项公式 斐波纳契数列 ? ? 斐波纳契数列还暗含着许多有趣的数字规律，如从第3个数开始每隔两个必是2的倍数，从第4个数开始每隔3个必是3的倍数，从第5个数开始每隔4个必是5的倍数……另外，这个数列最具有和谐之美的地方是，越往后，相邻两项的比值会无限趋向于黄金比1.61803…… 斐波纳契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。 矩阵的除法 矩阵的性质 1、方阵的行列式：det () 2、方阵的逆：inv() 3、矩阵的迹：trace() 4、矩阵和向量的范数：norm() 5、矩阵的条件数：cond() 6、矩阵的秩：rank() 7、特征值与特征向量eig() 矩阵转置 矩阵转置运算符.‘ ：此运算符的运算级别比加减乘除等运算要高 对称矩阵：一个矩阵与其转置矩阵相等 isequal(A,A.’)==1 反对称矩阵：一个矩阵与其转置矩阵的和为零矩阵 isequal(-A,A.’)==1 方阵的行列式：det() d = det(X) ： 返回方阵X的多项式的值 说明：利用det(X)==0来检验方阵是否为奇异矩阵，并不式任何时候都有效的。 求下面方阵的行列式的值 dt(n)=-2×(n-2)! (n1) function y=dt(n) c=diag(1:n) c(c==0)=2 y=det(c) 利用克拉默法则解线性方程组 逆与伪逆：inv(),pinv() Y=inv(X) ：求方阵X的逆矩阵。若X为奇异阵或近似奇异阵，将给出警告信息。 B = pinv(A)：求矩阵A的伪逆 B = pinv(A, tol) ：tol为误差： max(size(A))*norm(A)*eps 说明 当矩阵为长方阵时，方程AX=I和XA=I至少有一个无解，这时A的伪逆能在某种程度上代表矩阵的逆，若A为非奇异矩阵，则pinv(A) = inv(A)。 矩阵的迹：trace() b=trace (A) ：返回矩阵A的迹，即A的对角线元素之和，它等于矩阵的特征值之和。 矩阵和向量的范数 线性代数中，在对线性方程组进行直接求解时，由于实际的观测和测量误差以及计算过程中的舍入误差等的影响，所求得的数值解与精确解之间存在着一定的差异，为了了解所得解得精确程度，必须对解得误差进行估计，这就要用到范数得概念。 矩阵范数是矩阵元素得数量级大小得一种度量。 向量的范数： norm() n = norm(X) ：X为向量，求欧几里德范数，即 n = norm(X,inf) ：求 -范数， n = norm(X,1)： 求1-范数，即 n = norm(X,-inf)：求向量X的元素的绝对值的最小值，即 n = norm(X, p) ：求p-范数，即 所以norm(X,2) = norm(X)。 矩阵的范数： norm() n = norm(A)：A为矩阵，求欧几里德范数，等于A的最大奇异值。 n = norm(A,1)：求A的列范数，等于A的列向量的1-范数的最大值。 n = norm(A,2)：求A的欧几里德范数，和norm(A)相同。 n = norm(A,inf)：求行范数，等于A的行向量的1-范数的最大值，即：max(sum(abs(A‘)))。 n = norm(A, ‘fro’ )：求矩阵A的Frobenius范数， 即sqrt(sum(diag(A*A)))，不能用矩阵p-范数的定义来求。 范数的估计值： normest() nrm = normest(A)：矩阵A的2-范数(欧几里德范数)的估计值，相对误差小于106。 nrm = normest(A,tol)：t