[数学]矩阵谱分解.ppt

第四章 矩阵分解 第一节 矩阵的满秩分解 定理1 第二节 矩阵的正交三角分解 定理2 定理3 * 第一节 矩阵的满秩分解 第二节 矩阵的正交三角分解 第三节 矩阵的奇异值分解 第四节 矩阵的极分解 第五节 矩阵的谱分解 1/33 满秩分解的基本思想： 存在非奇异矩阵P、Q化矩阵A成为简单形，即 2/33 定理2 证明 3/33 4/33 在用行、列初等变换化 为标准形式过 例1： 求矩阵 的一种满秩分解。 解法一： 程中， 求出相应的初等变换矩阵 具体变换过程如下： 5/33 6/33 到此知 的秩为2， 行、列变换矩阵分别为： 求出 的逆矩阵为 取 的前两列为 取 的前两行为 7/33 则得 的一种满秩分解 解法二： 设矩阵 按列分块为 求出 的列向量组的一个极大无关组 并求出 中各列用 线性表示的系数： 8/33 于是便有 令 即得 的一种满秩分解 解法三:可选 中的前两列为 相应的满秩分解为 9/33 定理1 证明 10/33 11/33 12/33 推论 13/33 证明 14/33 解： 记 的三个列向量依次为 例2： 求矩阵 的 分解。 用施密 特正交化方法得 15/33 单位化得 16/33 求出 便有 17/33 第三节 矩阵的奇异值分解 引理1： 对任意复矩阵 必有 证明： 只证 为此考虑两个线性方程组 首先： （1）的解显然是（2）的解， 的任一解为 反之设（2） 有 于是 从而知 也是（1）的解。 18/33 引理2： 对任意复矩阵 及 半正定H-矩阵。 证明： 首先， 显然为H-矩阵， 厄密特二次型 都是 我们来考虑 对任意n维复向量 有 故 为半正定的， 从而 为半正定H-矩阵。 类似可证， 为半正定H-矩阵。 19/33 定义1： 对于复矩阵 称 的 个特征根 的算术根 为 的奇异值。 若记 其中 是 的全部非零奇异值， 则称 矩阵 为 的奇异值矩阵。 20/33 定理4： 对于秩为 的复矩阵 必有 阶酉 及 阶酉矩阵 使得 矩阵 这里S是 的奇异值矩阵。 证明： 设 的非零奇异值为 则 即是 的全部非零特征根， 记 的奇异值矩阵即为 由引理2知 为半正定的H-矩阵， 则必有 阶酉矩阵 使得 21/33 的列向量组正是 征向量组， 的一个标准正交的特 今将 分块为 其中 是 矩阵， 它的各列依次为矩阵 的与特征值 相应的特征向量。 是 矩阵， 它的各列都是与特征值0相应的特征向量。 (4)式成为 22/33 即： 于是有 由（5）得 由（6）知 令 则由（7）式可见有 说明 是部分 酉阵， 可取部分酉阵 23/33 使 为一个酉矩阵， 此时当然有 再注意 便有 定理证毕。 由（3）式即得 （9）称为矩阵 的奇异值分解。 24/33 求复矩阵 的奇异值分解， 可按下述步骤进行： 1 、 求出 的全部特征值及奇异值， 非零奇异值（包括重复的） 由所有 对角矩阵 进而得到奇异值矩阵S。 得到正线 25/33 2、 对 的每一个不同的特征根， 相应的特征向量的最大无关组， 经正交化、 单位化得 相应于该特征根的标准正交特征 将其中与非零特征根相应的那些小组 求出与之 向量组。 （作为一些列向量）顺序排成矩阵 其次序 中相关奇异值在对角线上的排列顺序 应与 相一致。 再以 特征向量（最大无关）组排成矩阵 相应于零特征根的标准正交 26/33 5、 在 的 个列基础上， 对 的求法，亦可按如下方法： 于是可得酉矩阵 3、 计算 4、 求出 交特征向量（最大无关）组， 由它们排成 的部分酉阵 相应于零特征根的一个标准正 可得 综上， 便得到奇异值分解， 再扩充 总共 个列成为一个标准正交向量组， 个列便 由后扩 个列排成的矩阵就是 充进来的 27/33 *