[数学]积分变换.ppt

偏微分方程PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E) 积分变换法 1. Fourier变换 Fourier变换的性质 2. Fourier变换的应用 3. 半无界问题 * * Fourier 变换 Laplace 变换 将偏微分方程的某些定解问题，通过积分变换化为常微分方程定解问题来求解。 设 是定义在R上的函数，且 则 可以展开为Fourier 级数 其中 将系数代入级数，可得 假设f(x)在R上绝对可积，令 有 记 定义： 若 则 有意义，称 为 的Fourier变换，记为 Fourier积分定理 定义：Fourier逆变换 记号 Fourier积分定理即为 反演公式 例子： Fourier变换及其逆变换是线性变换； 2. 位移性质 3. 相似性质 4. 微分性质 5. 乘多项式性质 6. 对称性质 7. 卷积性质 如果对于f(x)与g(x),使得 存在，则称其为f(x)与g(x)的卷积。 卷积定理 （1） （2） （3） 例：设 1） 2） 3） 例子： 热传导方程的Cauchy问题 波动方程的Cauchy问题 椭圆方程的定解问题 热传导方程的Cauchy问题 对方程两边进行Fourier变换 作Fourier逆变换 热核 非齐次Cauchy问题 对方程两边进行Fourier变换 作Fourier逆变换 例 对方程两边进行Fourier变换 波动方程的Cauchy问题 对方程两边进行Fourier变换 *