[数学]第3章集合的基本概念和运算.ppt

第3章 集合的基本概念和运算 3.1 集合的基本概念与表示 3.2 集合的基本运算 3.3 集合元素的计数 3.4 例题选解 习 题 三 3.1 集合的基本概念与表示 一些不同对象的全体称为集合， 通常用大写的英文字母A, B, C…表示。 严格地说这算不得集合的定义， 因为“全体”只是“集合”一词的同义反复。 在集合论中， 集合是一个不能严格定义的原始概念（就像几何学中的点、 线、 面等概念）。 对象： 组成集合的元素。 用小写英文字母a, b, c…表示。 如果a是A的元素， 则记为 a∈A， 读作“a属于A”或“a在集合A之中”。 如果a不是A的元素， 则记为a A或 (a∈A)， 读作“a不属于A”或“a不在集合A之中”。 ? 其中“∈”表示一种关系。 在我们所研究的集合论（古典集合论）中， 对任何对象a和任何集合A， 或者a∈A或者a A, 两者必居其一且仅居其一。 这正是集合对其元素的“确定性”要求。 随着科学的发展， 由控制论的研究所引起的当代数学的一个新领域——模糊集合论， 所研究的不清晰的对象构成的集合， 不在我们讨论的范围内。 集合有三个特性： 确定性、 互异性和无序性。 (1) 确定性： a∈A或a A， 二者必居其一并仅居其一。 (2) 互异性： {1， 2， 3， 2} 与{1， 2， 3}视作一个集合。 (3) 无序性： {1， 2， 3}、 {2， 3， 1} 与{3， 1， 2} 视为一个集合。 集合 A 中的不同的元素的数目， 可称为集合 A 的基数或者势， 记为|A|。 基数有限的集合称为有穷集合， 否则称为无穷集合。 表示一个集合的方法通常有两种。 （1） 列举法： 将集合的元素列举出来并写在一个花括号里， 元素之间用逗号分开。 例如， 设A是由a, b, c, d元素构成的集合， B是由a, {b}, {{c, d}}为元素构成的集合， 则A={a, b, c, d}, B={a, {b}, {{c, d}}} ， 集合B说明集合也可用作元素， 因此， 尽管集合与其元素是两个截然不同的概念， 但一个集合完全可以成为另一个集合的元素。 ? 列举法基本上用于有限集合， 如果能说明集合的特征， 也可只列出部分元素， 其余的用省略号表示。 如自然数集可用列举法表示为 N ={0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, 根据所列元素， 可判断 N 中的其余元素。 列举法使集合中的元素一目了然， 但是元素个数很多时使用起来就很麻烦， 另外， 有很多集合， 如大于0而小于1的所有实数的集合就不能用列举法表示。 为此引入另一种表示方法。 （2） 描述法： 规定一个集合A时， 将A中元素的特征用一个谓词公式来描述， 用谓词P(x)表示x具有性质P， 用{x|P(x)} 表示具有性质P的集合A, 即A={x|P(x)}。 它表示集合A是使P(x)为真的所有元素x构成的集合， P(x)是任意谓词。 P(a)为真的充分必要条件是a∈A, P(a)为假的充分必要条件是a A。 【例3.1.1】 （1） 设P(x) : x 是英文字母， 则S={x|P(x)} 表示26个英文字母的集合。 （2） N ={0， 1， 2， 3， …}={x|x是自然数} (3) I+ ={1， 2， 3， …}={x|x是正整数} （4） I ＝ {…， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， …}=｛x|x是整数｝ (5) Im＝{0， 1， 2， …， m-1}＝{ x|x(N∧0≤x＜m} （6） E ={…， -4， -2， 0， 2， 4， …} ＝{x|x是偶数} ={x|x∈I∧2|x} (2|x表示2整除x) （7） 前n个自然数集合的集合 ={{0}, {0 , 1}， {0， 1， 2}， …} ={x|x=In∧∈ I+} ={In|n∈ I+} 由此可见， 表示一个集合的方法是很灵活多变的， 必须注意准确性和简洁性。 为方便起见， 本书中指定下列常见数集符号： N (Natural) 表示自然数集合（含0） I (Integer)