[数学]第4章二阶常微分方程级数解法.ppt

考虑?阶贝塞尔方程 代入 先取 s1 =? 代入?阶贝塞尔方程 先取 s1 =? 代入?阶贝塞尔方程 即 即 比较各次幂系数有 得 其中 而 故只要 x 有限，级数收敛 （2）解的收敛性 利用达朗贝尔判别法有 故只要 x 有限，级数收敛 （3）贝塞尔函数 有 取 称为贝塞尔函数 表示为?阶贝塞尔函数 同理有 用 ?阶贝塞尔方程的通解为 J? 和 J-? 称为第一类柱函数 当 ? ? m时，J? 和 J-? 线性无关 当 ? = m时，J? 和 J-? 线性相关 证明如下： （4 )整数 m 阶贝塞尔方程 令 k-m=l, 因为 k-m+10 故当 ? = m时，J? 和 J-? 线性相关 需要寻找另一与 Jm 无关的解 取 ?阶贝塞尔方程的一个特解为 称为?阶诺伊曼函数 ?阶诺伊曼函数为第二类柱函数 ?阶贝塞尔方程的通解可取为 但当 ? = m时 分解为 第一个方程的解为 为亥姆霍兹方程 （1）球坐标系 （四）亥姆霍兹方程 首先试图将此变量变r与 ? 和 ?分离 代入 两边除以RY，乘以r2 令 化简为两个方程 上边第一式化为 球函数方程 令 若 k=0 l 阶球贝塞尔方程 退化为欧拉型方程 l 阶球贝塞尔方程 l 阶球贝塞尔方程 l 阶球贝塞尔方程 l+1/2 阶贝塞尔方程 l 阶球贝塞尔方程 连带勒让德方程 （2）柱坐标系 试图将变量变 ? 与 ? 和 z 分离 代入 用 除以两边 代入 令 令 代入 令 令 m 阶贝塞尔方程 令 代入 若 为 m 阶贝塞尔方程 m 阶球贝塞尔方程 退化为欧拉型方程 为 m 阶贝塞尔方程 m 阶贝塞尔方程退化为欧拉型方程 常点邻域的级数解法 考虑二阶常微分方程 初始条件为 可以用级数求 更一般，对于复变函数 w(z) 初始条件为 z为复变函数, z0 为选定点，C0，C1为复常数 若 p(z)和 q(z)在 点z0 的邻域内解析，z0 称为方程的常点 若 z0 是p(z)和 q(z)的奇点，z0 称为方程的奇点 对于常点邻域内解析的情形，可用级数解法求解 其中ak有待确定 （1）勒让德方程的级数解 即 在 x0 =0的邻域内解析, 可以用级数求 勒让德方程 或 令 代入有 即 比较各次幂系数有 从而可得 外推 外推 将以上系数代入得 其中 将以上系数代入得 其中 （2）解的收敛性 利用达朗贝尔判别法有 说明 收敛 说明 发散 可以证明在 （3）勒让德多项式 由于 勒让德方程的级数解若能退化为多项式，则发散问题解决 考虑到 若取 则 y0(x) 只到 x2n 项 因为 被称为 l 阶勒让德多项式 若取 则 y0(x) 只到 x2n 项 因为 但可取 则 y1(x)仍发散 从而 将l 限制在 0 或正整数，使“解在 x=?1 保持有限“，称为勒 让德方程的自然边界条件 考虑二阶常微分方程 正则奇点邻域上的级数解法 若 z0 是p(z)和 q(z)的奇点，z0 称为方程的奇点，解也以z0为奇点，则在 存在两个线性独立解 或 （一）正则奇点邻域上的级数解 存在两个线性独立解 或 在 若存在的两个线性独立解为有限个负幂项，称 z0 为方程的正则奇点 考虑p(z)以z0为不高于一阶的极点，q(z)以z0为不高于二阶的极点，则 可以证明 z0 为方程的正则奇点 有 或 或 其中 s1 和 s2 是如下判定方程的两个根 取 若 s1— s2? 整，则取第一个w2(z)等式，否则取第二个 的证明 的证明 考虑z的最低幂次（z-z0）s-2 考虑?阶贝塞尔方程 （二）?阶贝塞尔方程 p(z)以 x0=0 为一阶极点， q(z)以 x0=0 为二阶极点 判定方程 代入 （1）?阶贝塞尔方程 * 二阶常微分方程 级数解法 特殊函数常微分方程 正交曲线坐标系 常点邻域的级数解法 正则奇点邻域上的级数解法 施图姆—刘维本征值问题 主要内容 对于圆的Dirichlet问题，其边界条件 若分离变量 则 但若选极坐标 正交曲线坐标系 边界条件分离不出来 则 边界条件能分离出来 若以q1 , q2 , q3 正交坐标，则它与直角坐标的相互关系为 1 正交曲线坐标系 （1）柱坐标 其中 （2）球坐标 其中 （1）柱坐标 2 正交曲线坐标系中的 ?u 直角坐标系中 类似有 上面第一式两边除以 ?2 在柱坐标系中 直角坐标系中 在柱坐标系中 直角坐标系中 在极坐标系中 （2）球坐标系中 特殊函数常微分方程 （1）球坐标系 （一）Laplace方程 ?u=0 首先试图将此变量变r与 ? 和 ?分离 代入 令 分离为 两边除以R，Y，乘以r2 上边第一式化为 是欧拉型常数方程，令 称为球函数方程 称为球函数方程 令 接着试图将变量 ? 和 ?分离 代入 用