[数学]第5章对策论模型.ppt

第5章对策论模型5.1引言 二、基本概念 对策的大致分类： 5.2两人有限零和对策 5.2.2在纯策略下有解对策的解法 在纯策略下有解对策的解法 5.2.3 具有混合策略的对策 注意: 类似于纯策略下的情况，若以下等式成立, 则称E(X *,Y *)为对策Γ的值;(X *,Y *)为对策Γ在混合策略下的解(简称解); X *和Y *分别为局中人Ⅰ和Ⅱ的最优混合策略(简称最优策略). 注意: ①混合策略X表示局中人Ⅰ以概率xi选用纯策略?i , Y表示局中人Ⅱ以概率yj 选用纯策略?j ；E(X, Y)表示局中人I 的平均赢得. ②纯策略下的解(?i* , ?j*),可看作混合策略下的特例. 只需将X中取 xi =1, 其他分量为0;Y中取yi =1, 其他分量为0即可. 现以例5说明以上概念 解 设X=(x,1－x), Y=(y,1－y) 则 E(X, Y) = XAYT = (x,1－x) (y,1－y)T = 8xy－x－6y+8 用微分求极值的方法,令 ?E/?x = 8y －1= 0 得y=1/8 ?E/?y = 8x －6= 0 得x=3/4 即 x*=(3/4,1/4) , y*=(1/8,7/8) E( X, Y ) = 8xy －x －6y + 8 x*= (3/4 , 1/4), y*= (1/8 , 7/8) E(X*,Y ) = 8×3÷4×y－3/4－6y＋8=7.25, E(X,Y* ) = 8x×1/8－x－6×1/8＋8=7.25, E(X*,Y*) = 8×3÷4×1/8－3/4－6×1/8＋8=7.25. 所以局中人I和局中人Ⅱ的最优混合策略分别是： X*=(3/4, 1/4), Y*= (1/8, 7/8) ; 对策的值： VΓ=7.25 . 注意: 局中人I的期望赢得, 并不是说他每采取一纯策略就能得到此数,而是在概率意义下,经过相当次数的竞争之后所得的平均值． 定理2 (对策基本定理)在混合扩充中,任何矩阵对策都有解． 定理3 设Γ={ SI，SⅡ；A}, X*∈SI*, Y*∈SII*, 则(X*, Y*)为对策解的充要条件是 E(X, Y*)≤E(X*, Y*)≤E(X*, Y) (5.7) 注意:定理3的直观意义是,无论局中人I或II,谁不采用最优策略,谁就有可能受到不应有的损失. 如果一个策略(X*，Y*)具有以上性质,则它就是对策的解. 例6 设一矩阵对策的赢得矩阵为 VΓ= X*AY*T = (3/4, 1/4, 0) (1/8, 0, 7/8)T=7.25 解 可以验证局中人I和II最优策略分别是: X*=(3/4, 1/4, 0)和Y*=(1/8, 0, 7/8) E(X, Y*)=(1/3,1/3,1/3) (1/8, 0, 7/8)T = 6.75＜7.25= VΓ 可见局中人I若不采用最优策略X*, 有可能受到不应有的损失.同样对局中人Ⅱ也有类似结论． 若局中人I不采用最优策略X*,而用混合策略 X=(1/3, 1/3, 1/3), 则只要局中人Ⅱ用最优策略Y*, 则有 定理4 设Γ={ SI，SⅡ；A}, X*∈SI*,Y*∈SII*,则(X*, Y*)为对策解的充要条件是 E(?i , Y*)≤E(X*, Y*)≤E(X*, ?j ) (5.8) 对于一切的i, j(i =1, 2, …, m; j =1, 2, …, n)均成立 . 证 必要性 ∵ X*, Y*为对策的解 ∴ E(X, Y*) ≤ E(X*, Y* ) ≤ E(X*, Y ) 取混合策略X中的xi = 1,其余分量为0,则由(5.3)得 E(?i , Y*) = E(X, Y*) ≤ E(X*, Y*) (5.9) 类似地有 E(X*, Y* ) ≤ E(X*, ?j ) (5.10) 综合(1), (2)式得