[数学]第6讲非线性方程与方程组的数值解法.ppt

数值分析 李小林 重庆师范大学数学学院 将 (x* ? x0)2 看成高阶小量，则有： x y x* x0 只要 f ?C1，每一步迭代都有 而且 ，则 x*就是 f 的根。 与x轴交点的横坐标 无开方运算，又无除法运算。 例1：?写出求 的Newton迭代格式； ?写出求 的Newton迭代格式,要求公式中既 解： ?等价于求方程 的正根 ?解法一： 等价于求方程 的正根 ? 解法二： 等价于求方程 的正根 ? （局部收敛性） 设 x* 为方程 f (x) =0的根，在包含x*的某个开区间内 连续， 且 ，则存在 x* 的邻域 ，使得任取初值 ，由Newton’s Method产生的序列 以不低于二阶的收敛速度收敛于x*，且 Th 注：Newton’s Method 收敛性依赖于x0 的选取。 x* x0 ? x0 ? x0 改进与推广/* improvement and generalization */ ? 重根 /* multiple root */ 加速收敛法： Q1: 若　　　 ，Newton’s Method 是否仍收敛？ 设 x* 是 f 的 m 重根，则： 且 。 因为 Newton’s Method 事实上是一种特殊的不动点迭代， 其中 ，则 A1: 有局部收敛性，但重数 m 越高，收敛越慢。 Q2: 如何加速重根情况时的收敛速度？ A2: 将求 f 的重根转化为求另一函数的单根。 ? 令　　　　　，则 f 的重根 = ? 的单根。 §5 非线性方程组的迭代解法 /* The Iterative Method for Systems of Nonlinear Equations */ n个方程的n元非线性方程组的一般形式： 其中 是定义在区域 上的n元实值函数，且 中至少有一个是非线性函数。 如 一、Newton迭代法及其改进算法 利用多元函数的Taylor展开公式得 ? Newton迭代法的迭代格式 写成矩阵形式 其中 称之为函数 的Jacobi矩阵 称上述公式为Newton迭代格式。 Newton迭代方法在实际迭代时，转化为求方程组的解 解： 例： 用Newton迭代法求解下列方程组 取 解方程组 即 计算结果如下 (1.0000 1. 0000) 3 0.0001 (1.0000 1.0000) 2 0.001 迭代 次数 要求 精度 方程组的近似解 1、方程(组)， f1(x) = 0,…, fn(x) = 0, x = (x1,…,xn) solve 2、方程(组)， f1(x) = 0,…,fn(x) = 0, x = (x1,…,xn) fsolve fun.m function f = fun(x) f(1)= f1(x) ; …… f(n)= fn(x) ； 初值 1）可以省略。 2）options=1,表示输出中间结果。 solve(f1(x)’,f2(x)’,…,fn(x) ’) X = fsolve (‘fun’, X0, options) §6 Matlab软件求解法 注意：以上方程组求解方法：适合方程求解 * 数值分析 第6讲 非线性方程与方程组的数值解法 * Numerical Analysis 重庆师范大学数学建模培训 第6讲 非线性方程与方程组的数值解法 多项式方程: 一般的代数方程，记作 如 引 言 二次方程 根的个数? n次方程 根的个数? 计算机技术和计算机软件的飞速发展，为一些古老数学问题的解决提供了极大的方便。比如:利用MATLAB的图