初中数学竞赛培训讲义-第九讲—平行切割及其应用.doc

初中数学竞赛培训讲义 第六讲 平行切割及其应用 平行线是平面几何中重要的基本图形，它能实现角的关系的传递，也能实现面积的等积变换，更能实现比例的转换，因此构造平行线是重要的辅助线构造方法. 一 竞赛知识 定理1 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似. 如图，若∥,则, 或. 定理2 （平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例. 如图，若∥∥，则 , 推论 两条直线被一组等距的平行线截得的对应线段相等. 定理3 （平行切割定理） 如图，分别是的边上的点， 过点的直线交于,若∥, 则 二 两个重要定理及其证明 定理4 （塞瓦定理） 如图，分别是的边所在直线上一点， 则直线三线共点的充要条件是 定理5 （梅涅劳斯定理） 如图，一直线截，且与边所在直线 交于点，则 上述定理在解决比例问题是甚为管用，下文介绍应用 三 赛题讲解 例1 已知平行四边形中，为的三等分点，分别交于两点，求的值. 拓展练习 1、在梯形中，∥,,是对角线的中点，延长线交于，求的值. 2、如图，在平行四边形中，为的中点，，交于点，求证： 例2 如图，是的中线，是上一点，分别交于点，求证:∥ 拓展练习 1、如图，四边形的对角线交于点，两组对边分别交于两点，若是的中点，求证：∥ 例3 中，，是边的中点，交于点，交于点，求证： 拓展练习 1、如图，在正的边上分别有点，且满足，当平分时，求的值. 2、在四边形中，分别是的中点，为对角线延长线上任意一点，交于点，交于点，交于点.求证：是线段的中点. 拓展练习 如图，与时两个全等的等边三角形，将它们重叠， 得到重叠部分为六边形，记这个六边形的边长顺次为 ， 求证： 练习题 （每道25分，共100分) 3、如图，在四边形中，与相交于点，直线平行于，且与及的延长线分别交于点和， 求证： 5、锐角三角形中，,分别是上的高，与的延长线交于点，过作的垂线交于，过作的垂线交于，证明：三点共线. 2、如图，在等边中，边上取点，使，作，垂足为，联接，求证：. 第 5 页 共 5 页