[数学]第三章初等几何变换.ppt

第四章初等几何变换的理论与方法 每种几何都是由变换群所刻划，并且每种几何所要做的实际就是在这个变换群下考虑其不变量与不变性。 用变换群作出几何学分类，凡存在一种几何变换群，就构成一种相应的几何学。 几何变换：将几何图形按照某种法则或规律变换成另一种几何图形的过程 不变量：已知图形在某一变换下变成另一图形，有些表示图形特征的数量在这个变换下不变，这个数量叫做已知变换的不变量。 预备知识 1.映射 2.一一映射 3.变换（点变换、恒等变换、逆变换、相等变换、变换的乘积） 4.群（变换群） 群 一个非空集合 ，给定一个运算法则，且满足下列条件，则集合G叫做一个群： （1）对于 ，必有 ，使得 （2）对于 ， （3）存在 使得 （4）对于 必有 变换群：集合M的若干个一一变换关于乘法构成的群，称为集合M的一个变换群。 合同变换及其应用 定义：平面点集 到自身的映射 ，若对于该平面上任意两点 和它的象 之间，恒有 ，则称此变换为合同变换 定理1：合同变换是一一变换。 定理2：平面 上的全体合同变换组成变换群。 定理3：在合同变换下直线变直线（线段、射线、角、圆变线段、射线、角、圆） 定理4：在合同变换下，对应线段相等，对应角相等，对应三角形全等，三角形面积相等。 定理5：合同变换下，直线的平行性和正交性不变。 定理6：平面上的合同变换由不共线的三双对应点确定。 在合同变换下 合同变换的类型 平移变换 旋转变换 直线反射变换（对称变换） （一）平移变换 1.定义：设给定平面点集 上的变换 对 且①射线 定向（有给定的方向） ②线段 定长 则称 为 上的平移变换 2.性质 （1）在 变换下，任两点的距离保持不变。 （2）在平移变换下，任两对应直线平行。 （3）平移变换为合同变换，具有合同变换的所有性质（同素性、结合性、顺序性、平行性、正交性、对应线段、三角形合同） 3.利用平移变换解决几何问题 分析：若能构造满足条件的凸四边形即可 PA，PB，PC，PD从同一点出发的四线段 变为首尾相连的凸四边形而不改变大小。 例2. P是平行四边形ABCD内一点，且∠PAB=∠PCB，求证： ∠PBA=∠PDA 分析：因P是任意一点，通过角之间的化解不易证明，故设法将其 集中于同一个三角形 例3. 是△ABC的垂心，求证 例4. （二）旋转变换 1.定义：设给定平面点集 上的变换 其使某一点 变为自身， 对 且① ② 则称 为绕中心 按已知方向旋转 角的旋转变换 定义2： 2.性质 （1）旋转变换满足合同变换的一切性质 （2）旋转变换下任两对应直线的夹角大小不变，都等于其旋转角。 定义：旋转角为 的旋转变换称为中心对称变换。 3. 利用旋转变换进行几何证明 例1.利用旋转变换证明勾股定理。 例2.在直角三角形 中， 为斜边 的中点，过 引互相垂直的两线交 于 则 例3.在 中， ， 为其内任意点，试证 例4. 为等腰三角形， 为斜边上任一点，求证： 例5.圆 交 的边 于 ，过 引 的垂线交于一点，求证：过 所引 的垂线也交于一点。 （三）直线反射变换 1.定义： :若直线 垂直于连接 和 的线段，并经过这条线段的中点，则说 和 关于直线 反射或对称。 ：如果一个平面点集 到自身的变换，把平面上的每一个点变换到它关于直线 的对称点，这个变换叫做直线反射变换或对称变换。 2.性质 （1）在直线反射变换下，两点之间的距离不变。 （2）直线反射变换下，角的大小不变，但方向相反。 补充知识 对于同一平面上的两个 和 如果沿周界ABCA的方向有正向（逆时针方向）或负向（顺时针）分别称为不同的定向。 第一类合同变换