[数学]线性代数2-4方程组.ppt

小 结 n元非齐次线性方程组 方程组只有零解 方程组有非零解 n元齐次线性方程组 方程组无解 方程组有惟一解 方程组有无限多解 习题：75页B-5.6 第四节 线性方程组的求解 线性方程组的基本概念 线性方程组解的判别 一、线性方程组的基本概念 含有m 个方程 n个未知量 线性方程组的一般形式为： 的 (1) 说明： 线性方程组可写成矩阵乘积形式： (2) (3) b=O时，方程组为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。 为增广矩阵， 为常数项矩阵， 为系数矩阵， (1) 为未知量矩阵 (4) 若当 时，m个方程恒 成立，称 的解向量，或称 是方程 的解。 为线性方程组 若线性方程组有解，则称它是相容的；否则称为不相容的。 (5) 若线性方程组中的方程个数与未知量个数相等，并且系数矩阵满秩，那么可有以下三种求解方法： (1)克拉默法则; (2)逆矩阵; (3)高斯消元法 (6) 二、线性方程组解的判别 对方程组的增广矩阵施行初等行变换 解 例1 用高斯消元法求解线性方程组： (2) 则(2)的同解方程组为： “回代”求出解： 此方程组有无穷多组解。 令 ，则方程组 的解为： (C为任意常数) 例2 讨论方程组 的解。 对方程组的增广矩阵施行初等行变换 解 原方程组的同解方程组为： 最后一个方程为矛盾方程，说明方程组无解，即原方程组是不相容的。 方程组的解的情况可以归结为：有惟一解，有无穷多解和无解三种情况。 问题： 定理 n元线性方程组 (1) 无解的充要条件是 (2) 有惟一解的充要条件是 (3) 有无限多解的充要条件是 证 增广矩阵B经初等行变换可化为行最简形： 前n列由方程组的系数矩阵A变换得到。 情形1 ，即 时，方程组无解； 情形2 且r n，即 时， 对应的方程组为： 的自由变量。 可任意取值，称为方程组(*) 任意给定 一组数值，可求出 (*)的一个解，也就是方程组 的一个解， 从而方程组有无穷多组解。 (个数为n-r) 令自由未知量： 方程组的一般解为： ( 为任意常数 ) 情形3 且r = n，即 时， 对应的方程组为： 即原方程组有惟一确定的一组解。 设齐次线性方程组 的系数矩阵为A， 则当 时， 当 时， 推论 方程组有惟一解，即零解； 方程组有无穷多解，即有非零解。 例3 设线性方程组 为何值时方程组有解？有解时，求出所有的解 方程组可变形为： 解 对其系数矩阵施行初等行变换： 故当 ，且 时，方程组有惟一零解； 当 时， ，方程组有无穷多解， 对应的方程组为： 取 为自由未知量，则方程组的解为： 即 ( 为任意常数 ) 当 时， ，方程组有无穷多解， 对应的方程组为： 取 为自由未知量，则方程组的解为： ( 为任意常数 ) 1、对于含参数的矩阵作初等变换时，若需要对某些因式作变换，应注意因式可以等于零，必须对因式等于零的情况另作讨论. 2、求解一般线性方程组可分如以下几步进行： (1) 写出方程组的增广矩阵。 (2) 将方程组的增广矩阵经过初等行变换，化 为行阶梯形，判断方程组是否有解。若无 解，停止；否则进行下一步。 注意： (4) 把第(3)步所得每个方程改写为用自由变量 表示基本变量的形式，即得方程组的一般 解。 (3) 继续对增广矩阵施行初等行变换，将它化 为行最简形，写出该行最简形矩阵所对应 的方程组。 例3 求解线性方程组 解 对增广矩阵B进行初等变换， 故方程组无解． 例4 求解线性方程组 解 即得与原方程组同解的方程组： 由此即得 ( 为任意常数 ) 例3 求解线性方程组 解 对增广矩阵B进行初等变换 故方程组有解，且有 所以方程组的通解为： ( 为任意常数 )